35,36

zmienną losową. W dalszych rozważaniach ograniczymy się do takich funkcji h, dla których Y=h(X(co)) będą zawsze zmienną losową. Kolejnym naturalnym pytaniem jest wyznaczenie rozkładu zmiennej losowej Y w oparciu o znany wcześniej rozkład zmiennej losowej X. Tak więc mamy

y e IR’,    FY(y)=P(Y<y)=P(h(X)<y)=P(co;h(X(co))<y)=

dla zmiennej losowej X typu ciągłego

dla zmiennej losowej X typu dyskretnego

ff(x)dx

{x; h(x)<y} {x_k; h(x_k)<y}

Przykład 13. Niech X będzie zmienną losową o dystrybuancie F(x). Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y=aX+b, a*0, be R.

Rozwiązanie.

G(j) = P{Y <y) = P(aX + b<y) = P(aX <y-b) =

<

r

X<

y-b

\

= F

y-b

\

dla a > 0

P

L V

X>

a ;

y-b^

= 1 - F

y-b

\

r

X =

_y-b

dla a < 0

V

Jeżeli przyjąć, że X jest zmienną losową typu ciągłego o gęstości f(x) to różniczkując ostatni związek stronami otrzymamy związek

dla a> 0 dla a < 0

'y-b'

K ^a Y

który możemy zapisać:

dla a^O

(26) *(y) = ij/

p|

Jako zastosowanie omawianego przykładu rozważmy problem. Moc produkowanych tranzystorów ma rozkład N(4,1). Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa pracy jaką wykona prąd elektryczny w tranzystorze w ciągu 2 godzin.

Rozwiązanie. Niech M będzie zmienną losową opisującą moc produkowanych tranzystorów. Z warunków zadania wynika, że M ma rozkład N(4,1), tzn. jej gęstość ma postać

V2n

exp

(m - 4)

Ponieważ między mocą, pracą I w czasie t zachodzi związek l=m.t, zatem niech L

1

oznacza zmienną losową, której gęstości szukamy, korzystając ze związku M = —-L.

2

Wzór (26) pozwala napisać

g(o=

i

2a/27C

exp

Ml

8

co oznacza, że L ma gęstość N(8,2).

Inny problem prowadzący do wspomnianego wcześniej prawa arcusasinusa opisuje

Przykład 14. Załóżmy, że napięcie U prądu zmiennego ma losową fazę X o

rozkładzie jednostajnym na przedziale

2 2

, tzn. U=Umax'sinX. Wyznaczyć

dystrybuantę i gęstość napięcia U. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość napięcia przekroczy co do modułu0,5 U_max?

Rozwiązanie. Z treści wynika, że X ma dystrybuantę postaci

71

0 dla ^x -

F_x(x) =

71

1    ^x ji

—+ — dla

2    71

1 dla

71    71

— < X < —

2    2

x >

Dla obliczenia dystrybuanty zmiennej losowej U napiszemy

P(U = t) = P(U_I111X -sinX < t)= P

r

X < arcsin

t

\

^niax J

= F

X

arcsin

t

U

max /

gdzie FX jest dystrybuantą zmiennej losowej X. Stąd możemy napisać dystrybuantę

36