361 (29)

' f dxdydx J l-x-y

G

rozciągniętą na obszar G

ograniczony płaszczyznami:

1) x+y+z =1, -v = 0, y = 0, z = 0

2) * = 0, pe == 1, y — 2, y = 5,    z|= 2,    z = 4

Rozwiązanie; 1) Dane płaszczyzny ograniczają czworościan'

0/i2?C (rys. 180). Każda prosta, przechodząca przez punkty wewnętrzne czworościanu równoległe do osi Oz, przecina jego granicę (powierzchnię ograniczającą) w dwóch punktach. Wobec tego, zgodnie ze wzorem (*), obliczanie całki potrójnej sprowadza się tu do kolejnego obliczenia zwykłej całki o zmiennej całkowania z i całki podwójnej o zmiennych x i y. Granicami całki jednokrotnej będą z = z_N = 0 (z równania płaszczyzny A BO) i z = zq= 1 —x—y (z równania płaszczyzny ABC), natomiast obszarem całkowania w całce podwójnej będzie trójkąt ABO (rzut czworościanu na płaszczyznę xOy). Wobec tego

l-x-y

dz

Obliczając najpierw wewnętrzną całkę jednokrotną, a potem całkę podwójną, otrzymamy

ft AO‘BO 1

Z>ABO = -=- = -Z-

=-1-= *2

całkowania granice wszystkich trzech całek jednokrotnych, do obliczenia których sprowadza się obliczenie całki potrójnej, są stałe.

Całkując najpierw względem z, a potem względem x i y, otrzymamy"

ABCD 2

= 2 ^[injl —x—fi — ² | (infyf — in|y— \\)dy -

5    5

= 2[yln|y|-0-l)lnfy-I(j₅ = IC!n~

851. Obliczyć następujące całki potrójne:

1) J = //J-(ż+y+z+iy*    obszar G jest ograniczony płaszczyznami x+z — 3, y = 2, x — 0, y — 0, z = 0

2)    / = /// (^+y¹-i-z¹)dxdy dz_t gdzie obszar W jest ograniczony powierzchnią 3(x^z+y¹)+z¹ — 3a¹

3)    K=fjf ydxdydz, gdzie obszar T ograniczają powierzchnie y — = ]/x*+ż² i y m h; h > 0

Rozwiązanie: 1) Dane płaszczyzny ograniczają graniastosłup trójkątny (rys. 182). Według wzoru (*), mamy

*_q-3-x

/ = JJdxdy j (xĄ-y+zĄ-\y¹dz^:

jr_w-0

-//[

dxdy =

(x+y+z+1)-¹ -2

c 1	|	0'.	1		dx = -y*o
2 1 0	M	y+4
1	ln	*+l	X	i	41n2— 1
2		AT-ł-3	12	0	8

361

1

Dane płaszczyzny ograniczają prostopadłościan, o krawędziach równoległych do osi układu (rys. 181). Przy tym najprostszym obszarze

2

Ostatnią całkę (względem y) obliczamy całkując przez części: patrz rozdz. IV, 5 4.