179(1)

850. Obliczyć całkę potrójną I = ) f f    rozciągniętą na obszar G

*■ / ■ -    y

ograniczony płaszczyznami:

1) x+y+z=l,    x — 0,    ^ = 0, z = 0

2)    x = 0, x = 1, j = 2, v = 5, z — 2, z — 4 Rozwiązanie: 1) Dane płaszczyzny ograniczają czworościan

0    ABC (rys. 180). Każda prosta, przechodząca przez punkty wewnętrzne czworościanu równolegle do osi Oz. przecina jego granicę (powierzchnię ograniczającą) w dwóch punktach. Wobec tego, zgodnie ze wzorem (*), obliczanie całki potrójnej sprowadza się tu do kolejnego obliczenia zwykłej całki o zmiennej całkowania z i całki podwójnej o zmiennych x i y. Granicami całki jednokrotnej będą z — z-< — 0 (z równania płaszczyzny A BO)

1    z — z_Q — 1 -x~y (z równania płaszczyzny ABC), natomiast obszarem całkowania w całce podwójnej będzie trójkąt ABO (rzut czworościanu na płaszczyznę xOy). Wobec tęgo

dz

Obliczając najpierw wewnętrzną całkę jednokrotną, a potem całkę podwójną, otrzymamy

V

całkowania granice wszystkich trzech całek jednokrotnych, do obliczenia których sprowadza się obliczenie całki potrójnej, są stałe.

Całkując najpierw względem z, a potem względem a^- i y, otrzymamy*¹

2 2 -ix = l

ABCD 2

= 2 ( [ln|l —= (In|y|-ln|y-l|)<fy = 5    s

12 ₄ 101n--

= 2[>’In|y|-0-l)ln|y-l|j₃ =

851. Obliczyć następujące całki potrójne:

1) J= f f f    gdzie obszar G jest ograniczony płaszczyz-

Gr

nami a*+z = 3, y — 2, x = 0, y — 0, z = 0

2)    / = /// (x¹+y^2jrz¹)dxdydz, gdzie obszar W jest ograniczony po-

w

wierzchnią ‘i(x^l+y^2,)^Jrz^l = 3a¹

3)    K=jff ydxdydz, gdzie obszar 7" ograniczają powierzchnie y —

Jjr

— \ x¹+z¹ i y — /i; h > 0

Rozwiązanie: 1) Dane płaszczyzny ograniczają graniastosłup trójkątny (rys. 182). Według wzoru (*), mamy

Iq-3-x

I = Jj dxdy | (x+y+z+iy³dz =

*xy _    ^r«“°

(A-l-y+z+l)"¹ —2

= J7[

AfiCO

3    2

o o

3

= y) rfA-j [(.v+y+l)-¹-(>-+4)-¹]^ =

	1
>’+4	A+y+1
I JC + 1	^x X
1 a+3	12 Jo

Rys. 180

Rys 181

W+l x+3    12

361

1

Dane płaszczyzny ograniczają prostopadłościan, o krawędziach równoległych do osi układu (rys. 181). Przy tym najprostszym obszarze

O Ostatnią całkę (względem y) obliczamy całkując przez części, patrz rozdz. IV, § 4.