36 (501)

78 Przekształcenie Laplace’a

Niektórzy studenci rozkładają funkcję F(s) na zespolone ułamki proste. Daje to również poprawny wynik. Niestety większość z nich pozostawia wynik w postaci sumy składników zespolonych, zapominając, że rozwiązaniem zagadnienia ma być funkcja rzeczywista.

O Ćwiczenie 6.4.1

Wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje:

^C) (s³ + l)(s³ + 4)^; 4 s² + 15s + 26 a³(a³ + 6a + 13)

,    _;_.    . \    •» t ■

^a'    (s - l)(s    + 2)’    '    s² + 2s +    10'

s² - is - 3    , _s_

(s-fl)³s '    (s³ + 2s + 5) (s — 1) ’

Metoda residuów

• Twierdzenie 6.4.2 (wyznaczanie oryginału za pomocą residuów)

Jeśli funkcja F(s) spełnia warunki:

1.    jest transformatą Laplace’a oryginału f(i);

2.    jest holomorficzna na całej płaszczyźnie zespolonej z wyjątkiem skończonej liczby punktów osobliwych s_lt s2, ... , s„;

3.    lim F(s) = 0,

5—*00

to

n

/(o = ^reSjfc »6^dzie 1 > °-

k-\

Uwaga*. Jak wiadomo (Twierdzenie 6.2.19) transformata Laplace’a F(s) oryginału f(i) jest funkcją holomorficzną w pótpłaszczyźnie Res > a, gdzie a jest wykładnikiem wzrostu oryginału. Jednakże za dziedzinę transformaty F(s) będziemy uważać obszar, na który funkcję określoną całką Laplace’a można przedłużyć w taki sposób, by otrzymać w nim funkcję holomorficzną. Na przykład całka Laplace’a funkcji Heaviside’a jest zbieżna tylko dla Res > 0 i jest w tej pół-plaszczyźnie funkcją holomorficzną, natomiast transformatę Laplace’a tej funkcji

F(s) = - można uważać za funkcję holomorficzną na całej płaszczyźnie z wyjąt-s

kiem punktu s = 0, gdzie ma ona biegun.

Uwaga*. Jeśli x > a, gdzie a jest wykładnikiem wzrostu oryginału f(ł), i R > 0 jest odpowiednio dużą liczbą, to wszystkie bieguny funkcji F(s)e^3t znajdują się wewnątrz krzywej Cr (rys. 6.4.1). Zatem z twierdzenia całkowego o residuach wynika, że

2^ J F(s)e“ ds = J2 res„ (F(s)e^J'] .

c„    ^k=l

Z drugiej strony przy założeniach jak w powyższym twierdzeniu można dowieść,

że dla t > 0 mamy

J F(s)e“ ds —. 0, gdy R —♦ oo,

Kr

gdzie Kn jest częścią okręgu |s| = R leżącą na lewo od prostej Res = x.

Br

Natomiast

j^F(*v'^d*=m

A R

w punktach ciągłości oryginału /(<).

• Fakt 6.4.3 (residua w biegunach sprzężonych)

Jeśli funkcja F(s) jest funkcją wymierną o rzeczywistych współczynnikach i ma bieguny sprzężone sq i ?o, to

res _Jo [F(s)e"] + res _To [F(s)e’‘] = 2 Re { res _Jo [F(s)e*'] }.

O Ćwiczenie 6.4.4

Metodą residuów wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje:

a) F(s) =

b) F(s) =

4s +3

s=(s-t)(s + 2)'

4s² + 15s + 26 s² (s² + 6s + 13)'

c) F(s)

s² - 2s + 5 (s² + 4)² '

9

(s² + 9)² ’

d) F(j) =

Wyznaczanie oryginału okresowego • Fakt 6.4.5 (transformata funkcji okresowej)

Jeśli F(s) jest funkcją postaci

F(s) =

F_t(s) 1-e-⁷”