78 (186)

!•« utsfci .1 JswiUimi .tlili. !i Przekształcenie Laplace'a

Korzystając z liniowości przekształcenia Laplace^ła dostaniemy

£{»"(<)} -3£{_y'(0}+2£{y(<)} = /:{ie‘}.

Oznaczając Y(s) = £{y(t)} oraz korzystając ze wzorów na transformaty pierwszej drugiej pochodnej mamy

s²y(s) - sy (0) - y' (0) - 3 (_sy(s) - y (0)) + 2Y(s) =

Uwzględniając zadane warunki początkowe otrzymamy

(s* — 3s + 2)    =

Stąd po przekształceniach mamy

s² - 2s + 2    _ s² - 2s + 2

“ (s - l)² (s² - 3s + 2) (s - l)³ (s - 2) ‘

Rozkładając funkcję wymierną po prawej stronie równości na ułamki proste dostaniemy

—2 1 12 ^y(j)⁼ 7^7 “ (s- i)² " (s-1)³ + 7^2'

Korzystając teraz z tablic oraz liniowości przekształcenia Laplace’a mamy

-2___1

s — 1 (s — l)²

1

(s - l)³

= -2c{e‘}- £ {<e‘} - £ {IłV} + 2£ {e²'} = £|-2e'-<e'-it²e^, + 2e²'}.

Zatem szukane rozwiązanie dane jest wzorem

y(t) = -2e‘ - te' -    + 2e²¹.

b) Niech y(t) oznacza rozwiązanie rozważanego zagadnienia początkowego. Wtedy

y"(i) + y'(0 = 4 cos t.

Transformując obustronnie powyższą równość otrzymamy

£ {y"(0 + y'(0} = £ {4 cos <}.

Korzystając z liniowości przekształcenia Lap!ace’a mamy

C{y"{t)} +£{y'(0} = 4£ {cos t].

Oznaczając V(s) = £{y(<)} ^oraz korzystając ze wzorów na transformaty pierwszej i drugiej pochodnej mamy

s²y(s) - sy (0) - y' (0) + sT(s) - y(0) = - ⁴*-

t i

Uwzględniając zadane warunki początkowe otrzymamy

(s² + s)y(s)-s -1 =

Trzynasty tydzień - przykłady

Stąd po przekształceniach mamy

W_s) ₌ *³+ ** + $» +    _

(s² + l)(s²+a)    (s² + l)s(s + l)

Rozkładając funkcję T(s) na ułamki proste dostaniemy

2    _ s . _    ]

165

s³ + s² + 5s + 1

^yW = 7 ⁺ 7TT

+ zllŻ-1 = I h--1--2

s² + 1 s s + 1

s² + 1

+ 2

s² + 1

Korzystając teraz z tablic oraz liniowości przekształcenia Laplace’a mamy

1 2 s ⁺ s + l

- 2-

s² +

—(- 2—r“— = £{l} + 2£{e^-'} — 2£ {cos <} + 2£ (sin <} 1 s² + 1    ¹    '

= £ { 1 + 2e^-< — 2cos t -f 2sin i} .

Zatem szukane rozwiązanie dane jest wzorem

y(t) = 1 + 2e“‘ — 2cos t + 2 sin t.

c) Niech y(t) oznacza rozwiązanie rozważanego zagadnienia początkowego. Wtedy

!/^(O(0 - 4y"(t) = 2e²'.

Transformując obustronnie powyższą równość otrzymamy

£{y⁽⁴⁾(0-4y"(0} = £{2e²‘}.

Korzystając z liniowości przekształcenia Laplace’a mamy

£{y<⁴>(i)}-4£{y"(<)} =2£{e^s'}.

Oznaczając y(s) = £{y(t)} ^oraz korzystając ze wzorów na transformaty drugiej i czwartej pochodnej mamy

s⁴y(s) - s³y(0) - s²y'(0) - sy"(0) - y"'(0) - 4 (s²Y(s) - sy(0) - y'(0)) = Uwzględniając zadane warunki początkowe otrzymamy

(s⁴ -4s²) K(s) - 1 =

Stąd po przekształceniach mamy

yfs) = --- = -J-.

^1J (s-2)(s<-4s²) s(s — 2)²(s -f 2)

Rozkładając funkcję y(s) na ułamki proste dostaniemy

y/rf₌łł_J.______

8 s 32j-2^t8(j-2)²    32 s+ 2'

1.11 11

Korzystając teraz z tablic oraz liniowości przekształcenia Laplace’a mamy

2 1

1

1

1

32

8 s 32 s — 2    8 (s — 2)²    32 s + 2

₌ £ (ł _ —_e²‘ + i-te²* - — «^-2'} .

1 8    32    8    32    /

Zatem szukane rozwiązanie dane jest wzorem

1    1    2t 1    —2l