80 (186)

¹⁶⁸    Przekształcenie Laplacea

Odpowiedzi i wskazówki

i. _« .

|    J    j    Q

13.1 a) — t sin <; b) t cos 2ł\ c) — — —e~^l cos t + e ¹ sin t--te~‘ cos t + — le~^l sin t.

i    4    4    4    4

y

,    . (A dla 2n < t < 2

13.2 a) f(t) = <

^W \ -A dla 2n + l «

2 n + 1,

< 2n + 2, o

-A ■

1    2    3    4 S 6    7    8 t

( 1    3

b) f(t) = J 2 ^{4 _} 5”    ^ * < 3n + 2,

1 -i + 3n + 3 dla 3n + 2 < t < 3n + 3,

<0 m

=1°.

I -s*

dla 2nzr ^ t < (2n + l)7r, sin 1 dla (2n + 1)* ^ t < (2n + 2)tt,    1

gdzie we wszystkich podanych powyżej funkcjach n = 0,1,2,... .

13.3    a) y(t) = i(e“‘ - cos t + sin f); b) j/(<) = - j + — e³' + ^e~²¹; ^c) y(0 = jr(e^-< — e~^2t cos 3t - 2e^-21 sin 3<); d) y(t) = e'(2t — 1) -f 1.

O

13.4    a) x(t) = e‘(cos ł — 2 sin t), y(t) = e‘(cos i + 3 sin t);

b)    x(t) = — ~ + ^cos 2< — 3 sin 21, y(t) = -t 4- 3 cos 2t + — sin 21;

c)    x(t) = 2 — e‘, y(t)= -2 + 4e‘-te‘, z(t) = -2 + 5e‘ + te‘.

Czternasty tydzień

Przykłady

Sprawdzić twierdzenie Borela dla splotów podanych funkcji: a) f(t) = t, g(t) = cos 2/; b) f(t) = t\ ff(0 = ^e<-

Rozwiązanie

W rozwiązaniach korzystamy z definicji splotu funkcji

1

/(O * ff(0 = J - ^r)^dr-

_def •    r u(r) = r #'(r)= coa2(t-r)

cos 2t = J r cos (2(< — r)) dr I <_(r) _ , „(_r) = —sin2(t-_r) o    L    2    j

(

_o = -_Tcos2t ₊ i.

- OIÓ + J \ ^sin 2(* ~ ^r dT= 4 ^{COS 2(4} " ^r)

Czternasty tydzień - przykłady    .......S JiŁ.n ™

Zatem

£ {l ¹ cos 21} = £ | — ^ cos 21 + ^|

=    —+ —= -r4-- = L.-±- = £{!}•£ {cos 21},

4 a² + 4 4a a (a²+4)    a² a² + 4

co oznacza, że funkcje spełniają twierdzenie Borela. b) Mamy

t    t

1^{2 1} e' == J r²e'~^T dr = t J r²e^-r dr

= e‘ [—e^-r (r² + 2r + 2)]‘ = t [-e^-' (l² + 21 + 2) + 2] = -l² - 21 - 2 + 2e‘.

Stąd

£ {l² ♦ e } = £ { -l² - 21 - 2 + 2e‘}

2    2    2    2    _    2    _ 2    1    _ /- / y² \ . /¹ / < \

a³ a² a a — 1 a³(a — 1) a³ a — 1    ‘    ^{2    1    1}

Zatem podane funkcje spełniają twierdzenie Borela.

Korzystając z twierdzenia Borela o splocie wyznaczyć oryginały, których transformaty dane są wzorami:

a)

1

[i b)

s² (a² — 1) ’    ' (a² + 9) (s - 2)'

Rozwiązanie

a) Ponieważ -i- = £ {l} oraz -f-—- = £ { sh 1}, więc korzystając ze wzoru Borela mamy

1

1 1

a² (a² — 1) a² a² - 1 Zatem szukanym oryginałem jest funkcja

t

£ {1} • £ { sh 1} = £ (l ¹ sh 1} .

t.sht a y₍₍-r).h z¹

0

t

= (1 — r) ch r|¹ + J ch r dr = — 1 + sh r |¹ = — 1 + sh 1.

b) Ponieważ -j-— = £ {cos 31} oraz —-— = £ {e²‘ J, więc korzystając ze wzoru Borela mamy    a + 9    a — 2

(a² + 9) (a - 2) a² + 9 a-2

1

——— = £ {cos 31} • £ { e²¹} = £ { cos 31 + e²¹} .