373 2

373

8.6. Równania różniczkowe cząstkowe

Chcemy obliczyć temperaturę w równoodległych momentach, z krokiem czasowym ___ tzn. w momentach tj- ik — i oznaczamy temperaturę w punkcie x, i w chwili t_} symbolem    O)* P-'^envs7e prawo fizyczne, z którego skorzystamy, orzeka, żc przepływ

i_? przez ,x=ajest równy stałej k pomnożonej przez dff{dx w jc=a. Ten przepływ mierzy się np ^w kaloriach na sekundę. Stałą tć nazywa się współczynnikiem przewodnictw ciepłnego. Stosując to do warstwy o środku wnioskujemy, że ilość ciepła na sekundę (zob. ry.s.

X,-\

♦

X,

*r.1

przepływ ciepła

Rys. 8.6.2

8.6.2) dopływającego z lewej strony wynosi — k

ou\

d u

wającego z prawej strony jest równa

d* L«

, natomiast ilość ciepła odpły-Przybliżając te wartości ilorazami

różnicowymi, otrzymujemy ilość ciepła dopływającego do i-icj warstwy płyty w czasie k~fj+_x — tj sekund:

).

k = k -- (u, h

Skorzystamy teraz z innego prawa fizycznego, orzekającego, że ilość ciepła dopływającego do cienkiej warstwy jest w przybliżeniu proporcjonalna do zmiany temperatury w punkcie środkowym warstwy. W warstwie, w której tym punktem jest temperatura śnienia się od u_if w chwili 1, do u,_Jt , w chwili t_J+,. Ilość ciepła dopływającego jest więL- równa różnicy    pomnożonej preez stałą, na którą w^r istocie składają się

trzy czynniki: ciepło właściwe c, gęstość p i grubość warstwy k:

⁽⁸‘⁶-^2ł    WMuu+i-“u)cph.

Przyrównując praw-c strony równości (8.6.1) i (8.6.2), otrzymujemy

(16.3,

2u,j

k k

'i-J* i

^lc8o równania różnicowego można ohhczać przybliżone temperatury w czasie łj+_t, gdy znana krzywa temperatur w chwili i_i i gdy jest ustalona temperatura na powierzchniach • tj. dla *=0 i x-2, w każdej chwili / (warunki brzegowe). Natomiast dzieląc obie ^^r°^ny (16.3) pr2ez k i przechodząc do granicy h, k -*■ 0 (a także stosując wzór (1.2.5)), rymujemy równan ie różniczkowe cząstkowe znane jako równanie ciepła:

(16.4,

dl cp cx ^: