374 (6)

odchyleniem standardowym o - 1.5 pewną wielkość o wartości prawdziwej x, uzyskano wyniki: x'{^<> =1. Ą^h -2, x~^b = 3. x‘!^h ~2. Jak wiemy, w takiej sytuacji estymatorem NK wartości prawdziwej jest średnia arytmetyczna. Ponieważ każdy wynik pomiaru jest zmienną losową o tym samym odchyleniu standardowym, więc każdemu z nich przyporządkujemy taką samą wagę p — (nie jest tutaj istotna wartość tej wagi). Zatem

*-<!*>-

p -1 + p - 2 + p ■ 3 -r p ■ 2

- ?

oraz estymatory poprawek: v, = K ^ = 0. 0-> = ~l, v₄=0. Niech teraz z jakichś powodów (np. wskutek przekłamania odczytu instrumentu) czwarty wynik pomiaru odstaje od pozostałych i wynosi .v = 10. Wówczas

„ _ p ■ \ + p ■ 2 -f p 3 t- p • i 4 _

p + p + p + p

oraz V| "4, r>₂ =3, ć-, =2, y₄ - -9. Uzyskane oszacowanie wartości prawdziwej x w istotny sposób różni się od wcześniejszego. Porównując wyniki pomiaru, zdajemy jednak sobie sprawę, że czwarta obserwacja odstaje od pozostałych (mierzona jest przecież ta sama wielkość), a więc prawdopodobnie jest. ona obarczona błędem grubym. W pewnym sensie rozpoznanie to potwierdza wartość estymatora poprawki do czwartego wyniku pomiaru. Jeśli przedział dopuszczalny dla losowych poprawek ustalimy w postaci (dla y- 0.95, a- 1.5): Av - (-2cr; 2<j) ~ (-3; 3), to istotnie v_A £ Av. Postępując rozsądnie, powinniśmy obserwację .t,    14 po prostu odrzucić. Takiej „świado

mości” nie ma jednak zastosowana metoda wyrównania. Przypomnijmy, składowa funkcji celu metody najmniejszych kwadratów ma postać

p(v) = pv²

skąd wynika, że metodę tę reprezentuje następująca funkcja wagowa:

dp(v)

“.....T~ = P

d(Y~)

Metoda najmniejszych kwadratów należy więc do klasy neutralnych metod wyrównania. O ile bowiem przez sztuczną zmianę wartości wag nie postanowimy inaczej, o tyle każdy wynik pomiaru będzie tutaj traktowany jednakowo, nawet ten o najbardziej absurdalnej wartości (rys. 8.2).

W rozdz. 3.2.1 przedstawiliśmy postaci składowych funkcji celu kilku innych metod wyrównania należących do klasy A-Z-estymacji. Niektóre spośród tych metod są „w naturalny sposób” odporne na błędy grube (zasada wyboru alternatywy, metoda najmniejszych odchyleń absolutnych, metoda najwięk-

■u    0    <^!

Rys. S.2. Funkcja wagowa metody najmniejszych kwadratów

szej wiarygodności z zastosowaniem pewnych rozkładów prawdopodobieństw). Są to jednak metody o procedurach obliczeniowych w istotny sposób różniących się od dobrze poznanych rozwiązań metodą najmniejszych kwadratów. Na przykład, poszukiwanie minimum funkcji celu w metodzie najmniejszych odchyleń absolutnych jest, ze względu na brak jej pierwszej pochodnej w punkcie ekstremalnym, realizowane z zastosowaniem zasad programowania liniowego. Dobrze opisane są także i inne metody identyfikacji błędów grubych, oparte głównie na specjalnie do tego celu formułowanych testach statystycznych (np. Baarda 1968). Przegląd tych metod, oprócz innych zagadnień pokrewnych, np. dotyczących niezawodności sieci geodezyjnych, jest zawarty w pracy Prószyńskiego, Kwaśniaka (2002). Natomiast w tym podręczniku, o czym już wspominaliśmy, przedstawimy jedną z klas odpornego wyrównania, nawiązującą do ogólnych zasad ;V/-estymacji.

W klasie A-Z-estymacji, właśnie z myślą o opisywanych dalej zastosowaniach, wyróżniliśmy zmodyfikowaną metodę najmniejszych kwadratów. Przypomnijmy, że składowa funkcji celu tej modyfikacji, a w zasadzie generowanej przez nią grupy metod, ma następującą postać:

p(v) = h(v)v^?-

gdzie n'(v) jest funkcją wagową. Rzeczywiście, zgodnie z definicją funkcji wagowej, mamy

d{v²)

Wartościami funkcji wagowej iv(v) są wagi. Związek między wartościami wag a wartościami poprawek ma istotne znaczenie w przebiegu rozwiązywania zadania wyrównawczego (w klasycznej metodzie NK: w(v) - p - con.st).

Z wcześniejszej probabilistycznej analizy, uzasadniającej wprowadzenie przedziału dopuszczalnego Ar dla losowych poprawek (reprezentujących losowe błędy pomiaru), w sposób bezpośredni i naturalny wynika następująca funkcja wagowa:

375