393 2

Rozdział 9

Metody Fouriera

9.1. Wstęp

Rozdział ten jest w znacznej mierze za sterowaniem teorii z dwóch początkowych _paragrafów rozdziału 4. Warto zatem przypomnieć je sobie.

Wiele zjawisk przyrodniczych — np. akustycznych i optycznych - ma charakter okresowy. Wiadomo np., że dźwięk muzyczny składa się z regularnych drgań, częściowo z tonu podstawowego o pewnej częstotliwości n, a częściowo z alikwotów (przytonów) o częstotliwościach 2n,3n>... Stosunek natężenia tonu podstawowego do natężenia alikwotów decyduje o wrażeniu, jakie wywołuje na nas dźwięk. Dźwięki wolne od alikwotów występują np. w muzyce elektronicznej, gdzie nazywa się je czystymi tonatni sinusowymi.

W oscylatorze elektronicznym generuje się prąd o natężeniu zależnym od czasu t zgodnie z wyrażeniem

rsin(cof-ł-c),

gdzie r nazywa się amplitudą drgań, o — częstotliwością kątową (równą częstotliwości pomnożonej przez 2n), a o jest stalą określającą stan w chwili f=0.

W głośniku zmiany prądu są przekształcane na zmiany ciśnienia powietrza, opisane — ^w idealnych okolicznościach — tą samą funkcją. W praktyce jednak pojawiają s:ę zawsze Pewne zniekształcenia - występują alikwoty. Alikwoty rzędu k- 1 wnoszą wkład postaci ^rk$in(k(ut+o_k). Zmiany ciśnienia powietrza odczuwane uchem można wobec lego opisać $umą postaci

¹⁹¹ -¹)    £ r. sin(Ar<uf-c_A).

k=0

^odział zjawiska okresowego na ton podstawowy i alikwoty występuje nie tylko w aku-^Styce»    wiciu innych dziedzinach. Jest on związany z ważnym, czysto matematycz-

.’^łn ^erdzeniem Fouriera (1758 - 1830). Zgodnie z tym twierdzeniem każdą funkcję U o okresie 2tc/o> można, przy pewnych bardzo ogólnych założeniach, rozwinąć w szereg (9.1.1). Ściślejsze sformułowanie tego twierdzenia będzie podane później jako iwicr-^{,e 9}-2.2. Przez funkcję o okresie p rozumiemy taką funkcję /; że

/(f+p)=/(r) dla każdego t.

R*}

⁰Ginięcie postaci (9.1.1) można wyrazić na wiele równoważnych sposobów. Przyj-