3 (456)

Wyprowadzimy teraz wyrażenie na widmo sygnału FM bez żadnych

ograniczeń na indeks modulacji mf. W tym celu należy rozwinąć w szereg Fouriera wyrażenia cos (mf sia2lTFt) i sin (®f Bin2tTFf) )

Rozpatrzymy w tym oelu kombinację liniową obu tych funkojii t.j. wyrażenie cos (®f sin2\TFt) + jsin(mfsin2fiFt) ® ®xp{ jmfsin2tśFt} • Jest to funkcja okresowa © okresie 1/F, możemy zatem rozwinąć ją w szereg trygonometryczny Fouriera (zespolony):

£ ~2L ^Caexp{ j2*»nFt)

'H

^Cn ^s 1/T J f (t)exp(-j2?mFt)dt -Tu,

/10/

Po podstawieniu w miejsoe funkcji f(t) wyrażenia exp(raf sin25»Ft) otrzymamy:

-T,

C_n « 1/T |^,exp-j(2tot - mrsin2Fpt)it /li/

te

Po dokonaniu zamiany zmiennych w tej całce, danej wzorem xlfe-2ł»F4, otrzymamy:

/12/

^cn “ 1/2\ exp-j(nx - mfslnx)dx -Ti

Niestety, ostatnia całka nie może być wyznaczona w kwadraturach, t.j. nie istnieje żadna funkcja elementarna równa tej całce. Można wykazać że jest ona rozwiązaniem równania różniczkowego Bessela. Jest ona więc równa funkcji Bessela 1-go rodzaju rzędu n,,oznaczamy ją J_a{ffif). Mamy zatem:

exp( jmf sin2l«Ft) - Z J_n{mf)exp{jn2»Ft}    /13/

<r+

Wykresy funkcji Bessela dla pierwszych kilku rzędów pokstane są na rysunku 2. Z definicji funkcji Bessela wynikają dwie własności:

Jn(ffif) ⁸⁵ J„_n{mf) dla n parzystyoh J_n^^mf ^    (m-f )    dla n nieparzystych