42 (426)

• \/2    \/6 .

Ponieważ Reti>i = — Inituo, Im tui = Re wa, więc w i = —-—|- ~^~^l> ^a ponadto w 2 —

\/6    y/2    y/2    .

— uio = — ---1, W3 = —rvi = —---—1. Również korzystając z rysunku oraz

interpelacji geometrycznej postaci wykładniczej liczby zespolonej mamy

V- 2 + 2Vii=

hjfejli'

liiik

SESfiSHfifc^s

Przykład 1.5

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających polane warunki:

a) \z — tj < 1;    b) 1 < |z + 2-t| <2;    c)|iz-2|>l;

d)^<argz$j;    e) 0 < arg (z + 2 - «') ^ y; f)Rej^l.

Rozwiązanie

^l.V przykładach a), b), c) wykorzystamy interpretację geometryczną modułu różnicy liczb ■espolonych. Moduł różnicy liczb zespolonych zi, z-i jest długością odcinka łączącego mnkty zi, zj płaszczyzny zespolonej. Zatem zbiór {z: |z — zo| = r} jest okręgiem o irodku zo i promieniu r; zbiór {z : |z — zo| < r) jest wnętrzem kola o środku zo oraz iromieniu r, a zbiór {z : |z — z₀| > r) zewnętrzem tego kola (rysunek).

1) Szukany zbiór jest wnętrzem koła o środku w punkcie zo — i i promieniu r = 1.

. Im x

i i

o

Re x

Pierwszy tydzień - przykłady

93

b) Mamy

1 < |z + 2 - t| $ 2 <=> 1 < \z - (-2 + i)K 2.

Zatem szukany zbiór jest pierścieniem kołowym o środku w zo = —2 -f i oraz promieniu wewnętrznym t\ = 1 i zewnętrznym ri = 2, przy czym okrąg o promieniu rj = 1 nie należy do tego pierścienia, a okrąg o promieniu r? = 2 należy do niego.

c) Ponieważ

I** - 2| = |t (z - j) | = |i (z + 2i)| = |t| |z + 2i| = |z + 2»j ,

więc mamy

«=* I* - (-2*')| Ss 1.

koła o środku zo = —2i i promieniu t = 1 wraz z

I iz - 2| > 1

Zatem szukany zbiór tworzy zewnętrze odpowiednim okręgiem.

W kolejnych dwóch przykładach d) i e) wykorzystamy interpretację geometryczną argumentu głównego liczby zespolonej. Argumentem głównym liczby zespolonej z 0 nazywamy miarę y? kąta zorientowanego, utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej Re z oraz promień wodzący liczby z, przy czym — x < yj ^ x.

d) Zbiór spełniający podane w przykładzie warunki składa się z liczb zespolonych, których argumenty główne zawarte są w przedziale    . Jest to obszar kątowy ograni

czony pólprostymi wychodzącymi z początku układu współrzędnych i tworzącymi kąty

— i — z dodatnią częścią osi Re z. Pierwsza z tych pólprostych nie należy do tego zbioru. 6    3