64 (244)

• P<**M8.2    ■ . ■    , '

Znaleźć wszystkie zera funkcji f(z) i zbadać ich krotność:

a) /(z) = (z³ - l)²(z - 1); b) /(z) = z²(cosz - 1); c) /(z) = (e^z - 1) sh z.

Rozwiązanie

a) Mamy

z³ - 1 = (z - 1) (z² + z + l) = (z - 1) ^z + ¹ +2^'^S)    + ¹ ~ 2'^) '

Stąd

Zatem zerami funkcji /(z) są punkty

,    -1-iV3    -l+>\/3

^{2l = 1}> ²² = -2-’ ²³ =-2-'

Ponieważ

f(z) = (z - lfg(z), gdzie g(z) = ^z +    ^ + ¹    ,

a funkcja g(z) jest holomorficzna i różna od zera w punkcie z\ = 1, więc punkt ten jest zerem trzykrotnym funkcji /(z). Rozumując analogicznie można uzasadnić, że pozostałe zera funkcji /(z) są zerami dwukrotnymi.

b)    Funkcja /(z) jest iloczynem funkcji g(z) = z² oraz A(z) = cos z — 1. Pierwsza z tych funkcji ma zero tylko w punkcie z = 0 i jest ono dwukrotne. Druga funkcja ma zera w punktach 2kx, gdzie k £ Z. Krotności tych zer badamy obliczając kolejne pochodne. Mamy

h'(z) = — sin z, h'(2kK) = 0 dla k £ Z; h"(z) = — cos z, h"(2kic) = — 1    0 dla k £ Z.

Oznacza to, że wszystkie zera tej funkcji są dwukrotne. Ostatecznie punkt zo = 0 jest dla funkcji /(z) zerem czterokrotnym, gdyż przy mnożeniu funkcji krotności zer się dodają. Natomiast punkty z* = 2kx, gdzie k £ Z\ {0} są zerami dwukrotnymi funkcji /(z).

c)    Analogicznie jak w przykładzie b) funkcję /(z) traktujemy jako iloczyn funkcji g(z) = e‘ — 1 oraz h(z) = sh z. Szukamy zer funkcji g(z). Mamy

g(z) — 0 <=> e‘ = 1 <=> z = 2k*i, gdzie k £ Z.

Ponadto

g'(z) = e* i g'(2kiri) = 1^1), gdzie k £ Z.

zatem punkty z* = 2kxi, gdzie k £ Z, są zerami jednokrotnymi funkcji g(z). Analogicznie dla funkcji h(z) mamy

h(z) = 0 <=> sh z ==--- = 0 <=> e* = e~^x <=> e^2x — 1 <=> z = kxi, gdzie k £ Z.

Ponadto mamy

h'(z) = ch z i h'(kxi) = ch kri = (-1)* ?£ (1, gdzie k £ Z.

Ósmy tydzień - odpowiedzi i wskazówki

137

Punkty Zk — kxi, gdzie k £ Z, są zerami jednokrotnymi funkcji h(z). Ostatecznie zerami funkcji /(z) są punkty z* = kni, gdzie k £ Z. Dla k nieparzystych są to zera jednokrotne (bo są zerami jednokrotnymi tylko funkcji /t(z)), a dla k parzystych są to zera dwukrotne (bo są zerami jednokrotnymi zarówno funkcji <?(z), jak i h(z)).

Zadania

O Zadanie 8.1

Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f(z) w otoczeniu punktu zq i znaleźć koło zbieżności otrzymanego szeregu:

^a) /(^z) = ^{zsin z2}. ^zo = 0; b) /(z) = y-|— ,* z₀ = i;

COS z — 1

c*) /(z) = sin z, zq = 7tz; d) /(z) =---dla z ^ 0, /(O) = 0, zo = 0;

O Zadanie 8.2

Znaleźć wszystkie zera podanych funkcji i zbadać ich krotność:

Odpowiedzi i wskazówki

8.2 a) zi = 0, 4-krotne, zi = —1, Z3 =

_Zi _ ¹ +    2-krotne; b) *o ■ 0

3-krotne, z* = 2fcjr, gdzie k £ Z\ {0}, 1-krotne; c) z* = kir, gdzie k £ Z \ (0), 1 krotne;

d) brak zer; e) Zk = kit, gdzie k £ Z, 1-krotne; f) Zk = kir, gdzie k £ Z, przy czym dla k nieparzystych są to zera jednokrotne, a dla k parzystych dwukrotne.