87 (56)

3.6. Twlerdzonia o własnościach wielomianów I ich , a s I o s o woalach

ansanni

Danyjcsl wielomian W(x) = x⁴ + ax*+ 5x²-5x - b.

1/ współczynniki a i b, wiedząc, że dwa różne pierwiastki trójmianu x² + ax + b są również pierwiastka-_kłomiami łV(x). Dla wyznaczonych wartości a i b rozwiąż równanie W(X) = 0.

Rozwiązanie

I ihSjmian x^!+ax + b możemy przedstawić w postaci iloczynu (_x _._V|)(x- -v₂). gdzie Jf, i x₂ są jego

różnym' pierwiastkami, jeżeli x, i x₂ są także pierwiastkami wielomianu W(x), to jest on po-dziclny przez każdy z dwumianów x-x i x-x₂, co jest równoważne lemul że wielomian lV(x) jest popielny przez ich iloczyn (_x-x_l)(x-x₂) = x² + ax+b. Wykonamy dzielenie wielomianów.

(x⁴+ax’ + 5x²- 5x- bj: (x²+ax + b) =x²+ 5 -

4    3.2

—x — ax — bx

(5 — b) ,v²— 5x — b

-(5 - b) x² - (5 - b) ax - b (5 - b)

(—5 — 5a + ba) x + b¹ — 6b

Otrzymana z dzielenia reszta R musi być równa 0.

R = (-5 - 5a + ba)x + b²- 6b = 0 t

—5 - 5a + ba = 0 b²- 6b = 0 — 5 - 5a + ba = 0 ó(ó-6) = 0«fc = 0Vb = 6 dla b = 0 lub dla b = 6 —5 — 5a = 0    —5 —5a + 6a = 0

a=—1    a = 5

a =—1 b-0

a = 5 b = 6

Dla a =-1 i b = 0 rozwiążemy równanie W(x) = 0

W(x)=x⁴-x³+5x²-5x-0;x⁴-x³+5x²-5x = 0 x³(x — l) + 5x (x — l) — 0; (x — l)^x³+ 5x^ = 0 (x — l)x(x²+5) = 0 x - 1 = 0 v x₂= 0 V x²+ 5 = 0 x,= 1 V x₂ = O,

x =-5 x e 0

3. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

Dlaa = 5 i b = 6 rozwiążemy równa-Hie IV(x) = 0. Sprawdzimy za po-"wcą schematu Homera, czy rów-“nie ma pierwiastki całkowite. «°gą nimi być dzielniki liczby -6.

W(x) = x⁴+5x³ + 5x² — 5x - 6 x⁴+ 5x³+ 5x²— 5x - 6 = 0

	1	5	5	-5	-6
1	1	6	11	6	0
x^4+ 5x^3+ 5x^2- 5x - 6 = 0 «=» (x - l)(x^3 + 6x^2+ 1 lx + ój = 0
	1	6	11	6
-1	1	5	6	_^0_

- l)(x³+ 6x²+ 11x + ó) = 0 <=» (x l)(x+ l)(x²+ 5x + ó) = 0

x — 1 = 0 V x + 1=0 V x + 5x + 6 = 0

A= 1

x,= 1 V x₂ = -l V x,=    ¹ =-3 V x,= —¹ =-2

Formułujemy odpowiedź.

Odp. Dla a = -l i b = 0 pierwiastkami równaniu są x, = I, x, = 0. Dla 5 i b = 6 pierwiastkami równania są x, = I, x₂ = -1, x₃ = - 3, x₄ = - 2.