85 (58)

3.6. Twierdzenia o własnoiciach wielomianów i im . -

3.6.6. R6wnania i nierówności wielomianowe (II) b) Annlogie między procedurą rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych (por. 3.1.3. i 3.2.2.)

Równania wielomianowe

Nierówności wielomianowe

Tok rozwiązywania    Postać

/>(*) = <>

Rozkład wielomianu P(x) na czynniki niższych stopni (nicrozkladalnych) z zastosowaniem twierdzeń o własnościach wielomianów (por. 3.6.1.-3.6.5.)

na przykład:

a(x - x_t)(x - x_t) ...(x - x„) = 0 Korzystając z własności iloczynu: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero - wyznaczamy miejsca zerowe poszczególnych czynników rozkładu: .v = .y,V.v = a\V ... vx = x_H.

Liczby x_p x„ .., x_m są pierwiastkami równania P(.v).

na przykład:

^a (*-*i)(*⁰

Miejsca zerowe poszczególnych czynników rozkładu zaznaczamy na osi liczbowej:

Równanie jest już rozwiązane, a rozwiązywanie nierówności jest jeszcze kontynuowane.

oraz określamy znaki poszczególnych czynników:

(*-*,), (x-x₂), [x - x_n) w poszczególnych przedziałach na osi liczbowej, ponieważ znak wielomianu P(x) (jako iloczy nu) zależy od znaku poszczególnych czynników rozkładu P(x Można w tym celu posłużyć się tzw. siatką znaków w poniższej tabelce.

Na przykład:    niech jc,< x₂< ... <x_n

x:	(-oo;X|)	*i	J-c NI	*2	• ••	xn
x — xx	-	0	+		+		+
X —X,	-		-	0	+		+
...
	-		-		-	0	+
P(x)	-	0	+	0	-	0	+

+ oznacza znak dodatni - oznacza znak ujemny 0 oznacza miejsce zerowe

poszczególnych czynników

(x-*_c);i = 1,2,...., «

Oto graficzna interpretacja znaków wielomianu P(x) na osi liczbowej w rozpatrywanym przykładzie:

H-1-

y-PW

(szkic wykresu P(.v))

3. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

L

wybr

Następnie wybieramy przedziały odpowiadające typowi rozwiązywanej nierówności (> 0, < 0, ^ 0, < 0).

Dla nierówności ostrych - przedziały obustronnie otwarte, dla słabych - obustronnie domknięte w końcach przedziału x (i = I. .... /i), gdyż w tych punktach zrealizowane są równości. Zbiorem rozwiązań nierówności jest suma teoriomnogośeiowa ranych przedziałów.