83 (65)

3.6. Twierdzenia o własneicIeth wielomianów i ich tettołowoniocn

3.6.3. IWierdzenia związane z rozkładem wielomianu, z podzielnością wielomianu przez dwumian oraz z istnieniem pierwiastka wielomianu

Liczba pjest pierwiastkiem wielomianu P(ar):

p(p) = o

f)    Twierdzenie o związku stopnia wielomianu z licz-bą jego pierwiastków:

Każdy niczerowy wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków.

g)    T\vierdzenie o pierwiastku wielomianu o współczynnikach całkowitych:

(1) Jeżeli liczba całkowita p + 0 jest pierwiastkiem wielomianu P(x) o współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a₀ wielomianu P(x).

P

n) Wcfdicnic o rozkładzie wielomianu:

a yo(x)-w(x)+*(x)

0(>)*0 »(,)

(gdzie R(x) = 0 V st./?(.v) < st.{?(.x))

b)    twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki:

(1)    Jeżeli />,.....p_m są pierwiastkami wielomianu

P(x)stopnia n, to /*(.v) da się rozłożyć na czyn-niki: />(*) = a (x - p_t)(x - p₂)... (x - p_n))

(2)    Każdy wielomian P(x) # 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.

c)    twierdzenie (Bćzoutn) o podzielności wielomianu P(x) przez dwumian .v — pi

Wielomian jest podzielny przez x - p: R(x) = 0

dl Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu P(x) przez dwumian x - p:

Reszta R z dzielenia wielomianu P(x) przez dwumian x -p jest równa R = P(p)-Uwaga: twierdzenie to pozwala obliczyć resztę z dzielenia wielomianu P(x) przez dwumian x — p bez wykonywania dzielenia, na przykład reszta z dzielenia wielomianu P(x) przez na przykład (x — 3) wynosi P(3)apraez(x + 2)wynosi/^>(-2). e)Twierdzenie o krotności pierwiastka wielomianu: Liczba pjest pierwiastkiem it-krotnym wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian P(x) jest

podzielny przez (x-p)\ a nie jest podzielny pmz(x-p) ⁺¹.

(2) Jeżeli ułamek nieskracalny -g jest pierwiastkiem I wielomianu P(x) o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀, a q jest dzielnikiem współczynnika a_n wielomianu P(x\

h)    Twierdzenie o związku istnienia pierwiastka i wielomianu z rozkładem wielomianu:

Jeżeli wielomian stopnia co najmniej drugiego I o współczynnikach rzeczywistych (wymiernych) ma pierwiastek rzeczywisty (wymierny), to jest rozkładalny na iloczyn wielomianów o współ- I czynnikach rzeczywistych (wymiernych).

i)    Zasadnicze twierdzenie teorii wielomianów: Jedynymi wielomianami nie rozkiadalnymi na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych są wielomiany stopnia pierwszego oraz wielomiany stopnia drugiego o ujemnym wyróżniku.

j)    Twierdzenie o istnieniu pierwiastka wielomianu stopnia nieparzystego:

Każdy wielomian stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

3. WIELOMIANY IFUNKCJ

IM. Wzory Viete'a dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia (por. 3.2.1.)

Analogicznie jak wzory Vićte’a dla trójmianu kwadratowego wyrażają zależność pierwiastków trójmianu kwadratowego od jego współczynników, tak też dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia zachodzą następujące związki:

P(x) = ax³ + fex² + cx + d\ a £ 0)

*) (*p *j - pierwiastki wielomianu    b) (x,, x_p x_r x_Ą — pierwiastki wielomianu

P{x) = ca* + fet³ + cx² + dx + e; a # 0)

X ■ x ■ r — ^

*1 *1 ^x)—s

*1 X, + X,JC,+ r jr = 4

x₁ + x₂+x,+ :*₄ = ~j_f

^xi' ^xi' ^xi ^xa~ a

X, X_J+X| X₃+X| X₄ + Jf_J X,+ X_ł *₄ + *_J X₄* %

^xiX_i*_i+x_ix_lx_t+x_x’X_ix_i+x_ix_ix_A—%