94 (44)

Rozkłady brzegowe i warunkowe

Zmienna (A'. U tvpu skokowego

Rozkłady brzegowe

zmiennej X    zmiennej Y

wr = *,) = £

Pij = Pi* i = 1.....ji

^P<^Y M;> = 2>« =P-

'■■*1    I

j = 1....."i j

(2.25)

Jeśli jest dany następujący rozkład prawdopodobieństwa zmiennej (K, A)

	>‘i	y2	...	v/rt
	Pu	P12		Ph,Ł	m Xpij Pi* ya
.X\»	P‘.n	P;>2		P'lm	f>2, “ P2«
,tłX	Pił i	Pn:>		Pum	»i 5>,y “ P;«- /-I
	łi ! Xp«1 " P*l "P.2 M 1 i			ł\ TPim » P.,„	n m XX po-^1*-1, >

to rozkłady brzegowe zmiennych A' i K można przedstawić w postaci

X		-^x'2 I ••• I	y	y i I Vo ^1 J......... ........		• |
Px	P).	P2. | ™ j Pn*	Pv	Pm	! P-2 i	|

Uumga: dla wzajemnie niezależnych zmiennych X i Y zachodzi

V/, j : P(X ---- x_h Y = Yj) - P(X = *,-) P(Y = y_y) ~> p,_y =

Rozkłady warunkowe

zmiennej X,

pod warunkiem że Y = y_}

zmiennej Y,

pod warunkiem że X ~ Xj

P(X == Xj !Y — y :) - —

P.j i ~ ].....n

P(Y — yj / X -- x,) -

. , i

J = 1.....m)

(2.26)

Zmienna (X. Y) tvon ciarfłcno Rozkłady brzegowe zmiennej (A' gęstości

b _v

fx (-*) = f /(.v. y) dy

^ >

<*y

lub brzegowe dystrybuanty

x*v

FX (•'•') = J j / (.V. y) dx dy

u _v- a _v

ciągłej określają brzegowe funkcje

^bx

f_Y(y)~ J /(.v, y) dx    {2.21)

^ax

b_x y

fy(y) - | J /(-V, y) dxdy    (2.28)

a _x <i _v

Rozkłady warunkowe zmiennej ciągłej (A', Y) określają następujące funkcje gęstości:

- funkcja gęstości zmiennej X, pod warunkiem że Y-=v

f(x/y)

f{x, y)

7v(y)

(2.29)

- funkcja gęstości zmiennej Y, pod warunkiem że X~x

f{yix)

/(-v,y)

f X (A)

(2.30)

Jeśli zmienne ciągłe X \ Y są niezależne, to

*=> f(x, y) = f_x (x)f_Y (y)

f(xf y) ~ f_x(x)\ /(y/x) - fy(y)\

Momenty dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y)

Momenty (k + /)-tego rzędu

E{{X-c^)^k{Y~c,)¹}

momenty zwyczajne    momenty centralne

1 mk i = E(X*Y^l)	1 pA/=F{[A'-E(A)]^i(>'-/i(k)]^/}
L__ : _--	i

95