Algebra egzamin 2

Algebra z geometrią analityczną

Egzamin podstawowy, semestr zimowy 2010/11

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu i egzaminu, a ponadto swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabel Ponadto należy ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy.

Dl

u	2	3	4	5	Suma

Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej stronie pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 90 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.

ZADANIA

1.    Wektory V\ = (1,-1) oraz = (1,5) są wektorami własnymi przekształcenia liniowego D : R²—>R². Wyznaczyć wartości własne odpowiadające tym wektorom, jeżeli D( 1,1) = (—2,6).

2.    Wiadomo, że liczba z\ m —2 — i jest pierwiastkiem wielomianu D(z) = z⁴ + dz² + pz 4- 30. Wyznaczyć liczby d, p E R oraz pozostałe pierwiastki wielomianu D.

3. Rozwiązać równanie kwadratowe z² — 4iz — 4 — 18i = 0.

4.

Wyznaczyć miarę kąta między prostymi

l:

x — t— 1

y = 2t 4-1 , gdzie t € R i k : Z = t — 2

2x — y 4- 3z + 4 = 0 x + 2y + 4z — 3 = 0*

5. Zbadać dla jakich p € R układ

3# + py 4- 3 z m 2 px + 2y -j- 4 z = 2 2x — 3y 4- z = 1

ma jednoznaczne rozwiązanie spełniające warunek x > 0. Odpowiedź zaznaczyć na osi liczbowej.

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: nazwę kursu i egzaminu, a ponadto swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, nazwiska wykładowcy i osoby prowadzącej ćwiczenia, datę oraz sporządzić poniższą tabel Ponadto należy ponumerować i podpisać wszystkie kartki pracy.

Cl

1	2	3	4	5	Suma

Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej stronie pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 90 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów.

ZADANIA

1. Wiadomo, że liczba z\ — 1 — Si jest pierwiastkiem wielomianu C(z) — z* + cz* + pz + 30. Wyznaczyć liczby c,p e R oraz pozostałe pierwiastki wielomianu C.

2^ Wektory v\ — (1,-1) oraz V2 = (2,1) są wektorami własnymi przekształcenia liniowego C : M²—>R². Wyznaczyć wartości własne odpowiadające tym wektorom, jeżeli (7(1,1) = (3, —1).

3>. Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny tt przechodzącej przez prostą k : x w 5 + £, y = —3 — t, z = —t, gdzie t € M, prostopadłej do płaszczyzny 7 : 2x + y — Sz + 1 = 0.

4. Rozwiązać równanie kwadratowe z² + 8iz — 16 — 2i = 0.

5. Zbadać dla jakich p G M układ

px — y 4- Sz = —4 • x — 3y +pz= 1 3x + y + 4z = 4

ma jednoznaczne rozwiązanie spełniające warunek z > 0. Odpowiedź zaznaczyć na osi liczbowej.

Stanisław Roguski