CCF20090213053

tria nazywa się nieeuklidesową). Takie założenia nie są ani bardziej „prawdziwe”, ani bardziej „fałszywe” niż euklidesowe, przynajmniej w odniesieniu do standardowych sposobów dowodzenia. Teoria względności Einsteina wymaga zastosowania geometrii nieeuklidesowej.

Podobnie jak z geometrią jest z arytmetyką i innymi dziedzinami matematyki. Jeśli matematyka ma być nauką fundamentalną, to nie możemy odwoływać się do intuicji, zdrowego rozsądku czy praktycznego doświadczenia. Aby osadzić wątpliwe koncepcje matematyki na solidniejszej podstawie, uważał Russell, trzeba tylko znaleźć proste składniki, z których są one skonstruowane. Te leżą w logice, której zasady są prawie pewne. Tym, czego Russell chciał dokonać, było dokonanie rozbioru arytmetyki aż do powszechnie akceptowanych pojęć logicznych i następnie ponowne jej zbudowanie na ich podstawie. (Większość twierdzeń matematyki można wyprowadzić z czystej arytmetyki). Razem z matematykiem Alfredem Northern Whiteheadem poświęcił temu przedsięwzięciu trzy tomy Principia Mathematica (1910-1913).

Pierwszymi chwiejącymi się klockami okazały się niezdefiniowane terminy arytmetyczne: „zero”, „liczba” i „następnik” (jak w wyrażeniu „liczba jeden jest następnikiem zera”). Każde twierdzenie arytmetyki można będzie wyprowadzić, kiedy uda się je zdefiniować. W tym celu Russell zwrócił się w stronę logiki „klas” lub zbiorów, która była awangardą matematyki teoretycznej. Russell myślał, że może zdefiniować zarówno „zero”, jak i „liczbę” za pomocą pojęć logicznych zbioru zbiorów, albo „klasy klas”. Jak się jednak okazało, pomysł ten niezupełnie się sprawdza i prowadzi do sprzeczności i paradoksów, podobnych do logicznego paradoksu kreteńskiego kłamcy.

Problemy się zaczynają, kiedy usiłujemy traktować klasy w ten sam sposób jak elementy, które one zawierają. W większości wypadków różnica jest oczywista. Pomyśl o sześciopaku piwa jako o zbiorze lub klasie butelek piwa. Oczywiście sam sześciopak nie jest butelką i sześciopak nie może zawierać innego sześciopaka. Jednak skrzynka piwa może zawierać na przykład, cztery sześeiopa-ki, co czyni z niej „klasę klas” (zbiór czterech sześciopaków, które same są zbiorami). Pytanie: czy różnica pomiędzy skrzynką i sze-ściopakiem jest mniejsza niż pomiędzy sześciopakiem i butelką piwa? Pamiętajmy, że zarówno sześciopak, jak i skrzynka są klasami i najprawdopodobniej mają podobne własności.

I tu dochodzimy do paradoksu. Zestaw rzeczy fizycznych nie może sam siebie zawierać, ponieważ nie jest rzeczą fizyczną. Na przykład skrzynka butelek nie zawiera siebie, ponieważ skrzynka nie jest butelką. To samo można powiedzieć nawet o pewnych zbiorach zbiorów. Weźmy na przykład klasę etnicznych grup w Kalifornii. Każda grupa sama jest zbiorem - zbiorem Latynosów, zbiorem Chińczyków, zbiorem Afroamerykanów, zbiorem Euroamerykanów itd. Ale zbiór grup etnicznych nie jest grupą etniczną, więc nie zawiera sam siebie.

Podobnie zbiór kotów nie zawiera sam siebie, ponieważ nie jest kotem. A co ze zbiorem niekotów? Albo coś jest kotem, albo nim nie jest, a zbiór kotem nie jest, dlatego zbiór niekotów musi zawierać sam siebie. A oto jeszcze prostszy przykład: zbiór wszystkich zbiorów. Ponieważ zbiór wszystkich zbiorów jest również zbiorem, musi więc zawierać sam siebie. I tu zaczyna się zabawa.

Ponieważ zbiór albo zawiera sam siebie, albo nie, możemy podzielić wszystkie możliwe zbiory na dwie grupy albo inaczej klasy: klasę zbiorów, które nie zawierają same siebie (nazwijmy ją N, od „nie”) i klasę zbiorów zawierających same siebie (nazwijmy ją T, od „tak”). Zbiór butelek piwa należy do N, podobnie jak zbiór kotów czy etnicznych grup w Kalifornii. Zbiory takie jak zbiór wszystkich zbiorów czy zbiór niekotów należą do T.

Podchodzi do ciebie na ulicy człowiek i mówi: „Zbiór N zawiera sam siebie”. Wierzysz mu?

To jest paradoks Russella, który niweczy wszelkie usiłowania, aby oprzeć arytmetykę na teorii mnogości. Odpowiedź, jeśli pomyślisz, jest taka, że nie ma odpowiedzi: doszliśmy do logicznego załamania. Bo jeśli A zawiera sam siebie, wtedy A jest z definicji zbiorem, który nie zawiera sam siebie. Ale jeśli założymy, że N nie zawiera sam siebie i tak musi należeć do N.

Russell zdał sobie sprawę, że problem ten dotyczy wszystkich zbiorów jednakowo i dlatego tak uwikłaliśmy się w przypadku zbio-

109