CCF20090213054

rów mogących zawierać same siebie. Aby pozbyć się takich problemów, zaproponował, że zbiory powinny być rozpatrywane zgodnie z tym, co nazwał ich „typem”. Zbiór prostych elementów jest najniższym (najbardziej podstawowym) typem - nazwijmy go zbiorem typu pierwszego. Takie zbiory mogą zawierać tylko elementy, nie inne zbiory. Na następnym szczeblu drabiny znajdują się zbiory typu drugiego, które mogą zawierać elementy, ale także zbiory typu pierwszego. Rozpatrywana w naszym przykładzie skrzynka butelek jest podstawowym zbiorem typu drugiego. Nigdy nie zawiera on sam siebie, ponieważ zawiera tylko zbiory niższego typu. Wyżej są zbiory typu trzeciego, które mogą zawierać zbiory typu pierwszego i drugiego. One również nie mogą nigdy zawierać samych siebie. I tak dalej. Kiedy zostanie dokonane takie rozróżnienie, pytanie o to, czy zbiór zawiera sam siebie, traci znaczenie.

Russell uważał, że podobna logika mogłaby wyeliminować paradoksy języka, takie jak paradoks kreteńskiego kłamcy. Chociaż nie używał on tego tenninu, to, co zasadniczo zaproponował, było koncepcją „metajęzyka”, języka, który tworzy twierdzenia o samym sobie. Moglibyśmy nazwać podstawowy zbiór typu pierwszego po prostu zwykłym „zbiorem”, a zbiór typu drugiego, który go zawiera, „metazbiorem”. Podobnie prostym językiem (lub „językiem obiektów”) możemy nazwać stwierdzenia na temat obiektów i prostych relacji, takich jak: „Kot leży na słomiance”. Stwierdzenia, które odnoszą się do prostego języka, jego znaczenia i prawdziwości, nie są już jednak prostym językiem, ale „metajęzykiem”. (A język

0    metajęzyku jest „metametajęzykiem”). Aby uniknąć paradoksu kreteńskiego kłamcy, musisz oddzielić metajęzyk od prostego języka i dbać o to, aby nie traktować prawd o jednym jako prawd o drugim. Paradoks typu „Wszystko, co powiedziałem, jest kłamstwem” zostaje wygnany do królestwa nonsensu, ponieważ usiłuje zrównać prosty język z metajęzykiem, gwałcąc hierarchię i zapętlając język w samym sobie.

Jednak odseparowanie języka i metajęzyka jest dużo trudniejsze, niż to się wydaje. „Poprzednie zdanie ma 12 wyrazów” jest jasnym

1    prostym przypadkiem metajęzyka i poza tym jest prawdziwe. Ale rozważmy kolejne zdanie. „Ten akapit ma sześć zdań”. Problem z tym metalingwistycznym stwierdzeniem polega na tym, że zalicza ono siebie do tych zdań - czyli że odnosi się nie tylko do prostego języka, ale również do metajęzyka. Czy jest wobec tego stwierdzenie metametalingwistycznym?

Nieważne. Russell zajmował się matematyką, a nie językiem.

Twierdzenie Godła o niezupełności

W każdym niesprzecznym systemie logicznym (aksjomatycznym), który obejmuje arytmetykę liczb naturalnych, istnieją twierdzenia prawdziwe, których nie można udowodnić w ramach tego systemu (tzn. system aksjomatyczny nie może być jednocześnie niesprzeczny i zupełny).

Jeśli nie bardzo wiesz, o co chodzi w powyższej wypowiedzi, nie martw się. Nawet większość matematyków nie mogła zrozumieć opublikowanej w roku 1931 odpowiedzi Kurta Godła na dzieło Whi-teheada i Russella Principia Mathematica dotyczące logiki symbolicznej.

Krótkie streszczenie tego, co Godeł miał na myśli, jest następujące: każdy złożony formalny system myślowy, taki jak klasyczna logika lub arytmetyka, musi być niezupełny. 1 nieco bardziej precyzyjnie: mając skończoną liczbę fundamentalnych założeń („aksjomatów”) i reguł wywodzenia z nich twierdzeń, zawsze, gdy system aksjomatyczny jest spójny, można znaleźć przynajmniej jedno prawdziwe twierdzenie, które nie da się w tym systemie dowieść.

W szerszym znaczeniu stanowisko Godła oznacza, że formalne systemy znaków, takich jak czysta arytmetyka, nie mogą nigdy zostać użyte do wykazania swojej własnej zupełności lub spójności. (System „zupełny” to taki, który generuje wszystkie prawdziwe twierdzenia, natomiast „spójny” nie generuje sprzeczności). Nie zaradzi tej sytuacji uzupełnianie lub rozszerzanie systemu; sprawdzianu musimy szukać poza nim. Ale wtedy będziemy musieli wykazać, że zastosowane zewnętrzne metody są niezawodne, co może sprawić jeszcze większą trudność.

111