CCF20090319042

Pochodne cząstkowe i różniczki 51

Różniczka funkcji znajduje często zastosowanie wtedy, gdy wielkości występujące we wzorze pochodzą z pomiarów, a więc są obarczone pewnym błędem. Błąd wielkości wyznaczonej ze wzoru można wówczas obliczyć korzystając z różniczki.

Wykażemy to na przykładzie wyznaczania przyspieszenia ziemskiego g za pomocą wahadła matematycznego. Okres drgań T wahadła matematycznego o długości l wynosi

skąd g = An²^.

Różniczkę funkcji g(l,T) można zapisać w postaci

dg dg ^dg = ai^{d +} 8T^dT-

Jeżeli maksymalny błąd bezwzględny, jaki możemy popełnić przy pomiarze długości l, oznaczymy przez Al, a maksymalny błąd bezwzględny pomiaru okresu drgań przez AT, to

Ag =

dg	A1 +	dg
dl		dT

AT

oznacza maksymalny błąd bezwzględny, który popełniamy wyznaczając g w tym doświadczeniu. Po policzeniu pochodnych cząstkowych

^dA ₌    = _2.4n² . —

dl T² ’ dT    T³

i wstawieniu do wzoru na Ag otrzymujemy

47T²

= j^Al

8n²l

AT.

Można obliczyć błąd względny Ag/g dzieląc obie strony ostatniego równania przez g = An²l/T²:

Ą£ ₌ Ą/ , ₂AT g i T ■

Widać, że duży wpływ na dokładność wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego ma dokładność pomiaru okresu drgań wahadła; należy w tym celu odmierzyć czas jak największej liczby wahnięć.

Jak się wkrótce przekonamy, różniczki są bardzo przydatne w rachunku całkowym.