2048738920

Definicja 3. Pochodną cząstkową niecałkowitego rzędu o,- dwuwymiarowej funkcji f(t\,t₂) względem zmiennej f* nazywamy funkcję określoną wzorem

' T(N,

¹ r    j.

- Oli) Jo ((t-rK-* ’

(4)

gdzie Ni — 1 < Qj < A/j, AT* £ N, ttj £ R₊ jest rzędem pochodnej cząstkowej dla i = 1,2 oraz

dla i = 1 dla i = 2.

3^K7(T,t2)

dr^Nl

B^N*f(tuT)

(5)

dr^N*

Powyższa definicja jest uogólnieniem na funkcje dwuwymiarowe definicji jednowymiarowej pochodnej niecałkowitego rzędu według Caputo [62, 91,99].

Definicja 4. Całką niecałkowitego rzędu /3j dwuwymiarowej funkcji f{t\,t₂) względem zmiennej f,_; nazywamy funkcję określoną wzorem

^7(*l. h) =    (U - t)¹¹'-'f_u(T)d.T,    (6)

gdzie Pi > 0 jest rzędem całkowania dla i — 1,2 oraz

J /(t, f₂) dla i = 1 1 f(tu^T) dla z = 2.

Powyższa definicja jest uogólnieniem na funkcje dwuwymiarowe definicji jednowymiarowej całki niecałkowitego rzędu według Riemanna-Liouville’a [62, 91, 99].

Definicja 5. Pochodno-całką niecałkowitego rzędu a* dwuwymiarowej funkcji f(t\,t₂) względem zmiennej f, dla i = 1,2 nazywamy funkcję określoną wzorem

(8)

^cD?*f(ti,t₂) dla aj e R+ Iu^aif(t_ut₂) dla < 0

Definicja 5 określa operator różniczko-całki dla dowolnego a* G R, i = 1,2; przy czym dla rzędów ujemnych otrzymujemy całkę niecałkowitego rzędu a dla rzędów dodatnich pochodną niecałkowitego rzędu funkcji f(t\,t₂) względem zmiennej fi lub t₂. Dla a* = 0 mamy oryginał funkcji f(ti,t₂). Ponadto, dla całkowitych rzędów różniczko-całki, otrzymujemy n-krotne całkowanie lub różniczkowanie funkcji dwuwymiarowej. Jest to zatem uogólnienie klasycznego pojęcia pochodnej lub całki n-tego rzędu na rzędy rzeczywiste.

8