156(1)

Rozwiązanie. Znajdujemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu, występujące w danym równaniu różniczkowym

■§■=² •^2cos (^J-f) ■ [-^siD [y--r)] ■ (- y)"

= —cos (2y—x),

= 2 cos (2y—x)

dx3y

Podstawiając je do równania otrzymujemy tożsamość: 0 = 0.

757. Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego następujących

funkcji: \) : —    .2) u = e*lny+sinylnA'.

' 758. Wyznaczyć    jeżeli u — In (jc+y)

759.    Wyznaczyć u"_yy, jeżeli u = sin(.Yj)

[ł^u

760.    Wyznaczyć    jeżeli » = 2*^,z

761.    Sprawdzić, czy dla funkcji: 1) z — ln —,

2) z = arcctg(.Y-( 2y) za

chodzi

ćPz

<?xćiy 8y8x ’

762. Sprawdzić, czy dla funkcji v =

/    ... d³t>    d³w

--zachodzi -    . - = -■    =

xyz    3xcydx ćy8xr

763. Sprawdzić, że funkcja p = ln^-J-y²) spełnia równanie

Sjk² ^ 3f

764. Sprawdzić, że funkcja u — e>^] spełnia równanie

8u    8u ,    <?²«

dac    <3y ¹ ^ foóy

§ 8. Płaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni

Jeżeli powierzchnia dana jest równaniem F(x, y, z) = 0 i punkt M₀(x₀,y₀, z₀) leży na tej powierzchni, to: płaszczyzna styczna do tej powierzchni w punkcie M₀ dana jest równaniem

(x - x₀) F'_x (M₀)+(y - y₀) F'_y {M₀)Ą-(z-z₀)F'_z(M₀) = 0    (I)

a prosta normalna do powierzchni, przechodząca przez punkt Mo (prostopadle do płaszczyzny stycznej), dana jest układem równań

*-*0 ₌ y-y U ₌ Z—Zg

F'_X{M₀)    F'_y{M₀) ‘ F',(M₀)    ^{K }}

Punktami osobliwymi nazywamy takie punkty powierzchni F(x, y, z) = 0, w których znikają jednocześnie wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu Fi, F'_y, F'.. W punktach osobliwych nie można poprowadzić ani płaszczyzny stycznej do powierzchni, ani normalnej.

765.    Napisać równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do pa-raboloidy eliptycznej z = 2x^z-,-y² w punkcie A(l, —1,3).

Rozwiązanie. Piszemy równanie paraboloidy w postaci 2x²+ -f- y²—z == 0. Oznaczywszy lewą stronę równania przez F(x, y, z), znajdujemy pochodne cząstkowe F'_x = 4x,F'_y    2y, F'.= —1. Wyznaczamy z kolei

wartości liczbowe tych pochodnych w danym punkcie: F'_X(A) = 4, Fy(A) = — 2, F'₂(A) = • -1 i podstawiamy je do równań ogólnych (I) i (II). Otrzymujemy:

równanie płaszczyzny stycznej: 4(.v—1)—2(y+l)—(z—3) = 0, czyli 4x—2y—z— 3 = 0

, .    1    y-\-l    z—3

równania normalnej: - — = —— = — -

766.    Na sferze x²-t-y²-\-z² = 676 znaleźć punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do płaszczyzny 3x— 12j>+4z = 0.

R o z w i ą z a n i e. Posługując się równaniem ogólnym (I), piszemy równanie płaszczyzny stycznej do sfery w punkcie (x₀, y₀', z₀) leżącym na

sferze

x₀(x-.xr₀)+j’₀(y->-o)+Zo(z-Zo) = 0 lub

XgX-\-y₀y+z₀z = xl+yl+Zo = 676

Aby płaszczyzna styczna była równoległa do danej płaszczyzny, współczynniki przy współrzędnych bieżących powinny być proporcjonalne (warunek rów noległości dwóch płaszczyzn), czyli

*0    ^z« 3

T ⁼ ^i2 ⁼ T^==/

Wyznaczając stąd .y_u = 3x, y₀ — —12/., z₀ — 4/ i podstawiając do równania sfery, znajdujemy dwie wartości dla współczynnika proporcjonal-

315