151(1)

Rozwiązanie. Przekształcamy daną funkcję tożsamościowe: r= r(lnj—lnx) i znajdujemy pochodne cząstkowe względem x i y. Mamy

dz    y    cz    x

— = ln^-ln.v-l = in - —1,    — = —

ox    x    oy    y

Sz    ^7

Podstawiając do danego równania z,    i    otrzymujemy

ox    cy

tożsamość: x |ln ~ l| -\-y    = x In 0 = 0. Oznacza to. że funkcja

spełnia dane równanie (jest jego rozwiązaniem).

Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji:

721. r = (5xY+ l)³    722. r = ] ax² - bf

724. p = arc sin —

t

723. v = lnfc+j x^2jt~y²)

725.    f(m, n) = (2m)³" ; obliczyć f'_m i /' w' punkcie

726.    p(x, y, z) = sin^:(3.v-f-2y-r); obliczyć p'_x{ 1, -1,1), >'( 1,1, 4),

727.    Sprawdzić, że funkcja v — x^y spełnia równanie

2v.

x 8v ,    1 cv

y 8x ln.r dy

X —■ y

728. Spraw-dzić, że funkcja w = x-f ~—— spełnia równanie

y—z

Bw 8w cw ~dx⁺~dy⁺~Bz ^{= L}

§ 4. Różniczki funkcji wielu zmiennych

Różniczką cząstkową funkcji u =f(x, y, ..., f) względem x nazywamy główną część przyrostu cząstkowego A _xu — f(x-\rAx, y, ..., t)—f(x, y, .... r), liniową względem przyrostu Ax (czyli względem różniczki dx).

Analogicznie określa się różniczki cząstkowe funkcji u względem każdego z pozostałych jej argumentów. Różniczki cząstkowe funkcji u względem x,y.....t oznaczamy odpowiednio przez d_xu, d_yu, ..., d,u.

Z definicji pochodnych cząstkowych wynika, że

, 8u ,    Su ,    , 8u ,

d_xu = -r— dx, a_yu = - - dy, ..., d,u= - df dx    dy    dr

Różniczką zupełną funkcji u =Ąx, y, .... t) nazywa się główną część pełnego jej przyrostu Au =/(.v+J.v, y+.dy,t+At)-f(x,y,    li

niową względem przyrostów Ax, Ay, ...,At (czyli liniową względem różniczek dx,dy, ...,dt). Różniczka zupełna funkcji u (jeżeli istnieje) równa jest sumie wszystkich id różniczek czastkamiudi--

du = d_xu+.d_yu+ ... A d,u = dx dy+ ... +^rdt

ox cy    ct

Mówimy, żc funkcja u(x, y, .... t) jest różniczkowalna w punkcie (x, y,.... t), jeśli w punkcie tym istnieje różniczka zupełna.

Dla dostatecznie małych (co do wartości bezwzględnej) przyrostów argumentów, całkowity przyrost funkcji można z dowolnie małym błędem względnym zastąpić jej różniczką zupełną

Au s du^x~>

Obliczanie różniczki zupełnej funkcji jest znacznie prostsze od obliczania całkowitego jej przyrostu. D'atego podana równość przybliżona wykorzystywana jest w obliczeniach przybliżonych. W zad. 731 podamy proste przykłady takich obliczeń.

729. Wyznaczyć różniczki zupełne funkcji:

1) z — 3x²y⁵    2) u = 2x^yz 3)* q = arc cos —

uv

Rozwiązanie: 1) a. Znajdujemy pochodne cząstkowe danej funkcji

-fi = 6.v/,    -?- = 15*y

ćx    cy

b.    Mnożąc pochodne cząstkowe przez różniczki odpowiednich argumentów funkcji otrzymamy różniczki cząstkowe

d_xz = 6xy⁵dx, d_yz — 15x²y⁴dy

c.    Sumując różniczki cząstkowe, otrzymujemy różniczkę zupełną funkcji

dz = d_xzĄ-d_yz — 6xy^sdxAr15x¹y^Ądy

') Z wyjątkiem punktów, w których u'_x = u'y = ... — u, = 0-

-O Metody rozwiązywania zadań 305