063(1)

Rozwiązanie. Aby przedstawić daną funkcję f(x) w postaci przybliżonej jako wielomian względem dwumianu X—1, należy napisać dla tej funkcji wielomian Taylora, podstawiając a = 1. Błąd powstały na skutek zastąpienia danej funkcji wielomianem Taylora jest równy reszcie R„ we wzorze Taylora.

1) Dla funkcji ,x^m, gdzie w jest dowolną liczbą rzeczywistą, mamy /(-x) = x™    /(1) = 1

/'(x) = mx^m~^l    /'(1) = m

f'\x) = m(m-I)*™-²    f"(X) — tn(rn—1)

f"(x) =    /'"( 1) = m(m-\){m-2)

f^(t)(x) = m(m^-\){m—2) ...    /^(t)( 1) = m(m—\)(jn—2) ...

... (m-k+l)xr-^k    ... (w—A + l)

Posługując się wielomianem Taylora (*), otrzymamy

₊ M(m^_za_(jc__{1)l+ +}

Błąd tej przybliżonej równości znajdziemy z ogólnego wzoru na resztę R_k we wzorze Taylora, podstawiając f(x) = x^mia= 1

(X—1)"⁺¹ [l+0(x—l)]^m-"^-1;    0 < 0 < 1

*.=

m(m—1)... (m—n)

(n—1)!

Z kolei podstawiając 1 = /, otrzymamy

(HO-* 1+    >+    «■+ ^m(m~    ... +

,    (ro-n+1)

⁺    n\

... (m—n) ^_t4._1/ł , _a^_m^i (n+l)l    ^ ⁺ }

Ostatni wzór stanowi uogólnienie dwumianu Newtona na przypadek dowolnego wykładnika m. W szczególności, gdy wykładnik jest liczbą naturalną, reszta R_m (tj. R„ dla n = w) jest równa zeru i wzór (4) przechodzi w elementarny wzór na dwumian Newtona. Jeżeli m nie jest liczbą naturalną, równość (4) daje przybliżone wyrażenie na dwumian w postaci wielomianu o współczynnikach dwumianowych. Współczynniki te tworzymy według tej samej reguły, która obowiązuje przy elementarnym wzorze na dwumian Newtona.

W teorii szeregów dowodzi się, że błąd R„ wyrażenia dwumianowego (4) można uczynić dowolnie małym, tzn. błąd ten będzie dążył do zera, gdy n rośnie, tylko dla tych wartości t, które co do wartości bezwzględnej są mniejsze od jedności: —1 < t < i.

Biorąc kolejno n= 1,2,3, otrzymamy najprostsze przybliżone wzory dwumianowe

(1+0-g

m(m-\)(m-2) ₍₃

Drugi ze wzorów jest dokładniejszy od pierwszego, a trzeci — dokładniejszy od drugiego.

2) Dla funkcji lnx mamy

/(O = 0 /'(1) = 1

f(x) = In x

f'(x) - -*-¹

/"(*)=-1 • x-² /'"(*) =1-2- x-³ f^w(x) = -1 ■ 2 ■ 3 ■ x~*

/<*>(*) = (-l)*-‘(k—1)!*-*    /(*>(!) = (—!)*-•(*—1)! = ±(*-1)1 oraz

(.y-1)² _| (x-ly    _{[ (}    (jc—1)*

9 Metody rozwiązywania zadań 129