464 Rozwiązania i odpowiedzi
10.114. Funkcję można przedstawić w postaci y = i~ł cos 2x, skąd wnioskujemy i okres jej wynosi 7t; oś Oy jest osią symetrii krzywej; tabelka (w przedziale <0, jr».’
X |
... |
0 |
... |
±7t |
... |
... |
n | ||||
y" |
+ |
+ |
"T |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
y' |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
■ | ||||||
y |
\ |
m |
/ |
2 P |
/ |
M |
\ |
2 P |
\ |
m |
10.115. Funkcja jest określona dla wszystkich x; przy x=i(2k + l);r (k-0, 1,2,...) mamy ymin = i, a przy x = kn (k = 0, 1,2, ...) mamy ymax=l.
10.116. Funkcja jest określona dla wszystkich xy\n+kn (k=0, ±1, +2,'...); przy x=^n+kn (k-0, ±1, ±2, ...) mamyymax=l; asymptoty x=\n+kn (k=0, ±1, ±2,..,).
10.117. y=l+sin (2x—^n), okres 7t; y' = 2 cos (2x—$n); tabelka (w przedziale <0, tt»:
X |
0 |
5" |
I* |
... |
n | ||||
y' |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
2 |
\ |
0 | |||||||
y |
S |
2 |
y |
M |
m |
y • |
2 |
/ | |
10.118. y |
= i~ł cos (2x+$k), okres |
n; y' = sin (2x + ^7t); tabelka (w przedziale |
<0, tt»: | ||||||
X |
0 |
... |
i* |
f* |
n |
... | |||
y' |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
_1_ |
+ |
3 |
1 | ||||||||
y |
/ |
0 |
/ |
4 M |
\ |
4 m |
y |
0 |
/ |
10.119. Okres 2rr; / = 4 sin (\x + sin Qn — |x); tabelka (w przedziale <0, 27t»:
X |
... |
0 |
... |
I71 |
... |
17_ 12U |
... |
2n |
... | ||||
y |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
y |
V2 |
y |
3 2 M |
\ |
-3 m |
y |
3 2 M |
\ |
1 m |
y |
V2 |
/ |
10.120. y = cos x (1 —cos2 x), okres 2k; y' = sin x (3 cos2 x— 1); oś Oy jest osią symetf'1 krzywej; tabelka (w przedziale <0, 2ir»:
X |
... |
0 |
... |
a |
... |
TT —a |
... |
n |
rt+a |
... |
2 n—a |
... |
2n |
... | |
sin x |
- |
0 |
4- |
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
- |
- |
- |
0 |
4* |
3 cos2 x—1 |
+ |
+ |
4- |
0 |
- |
0 |
+ |
+ |
4- |
0 |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
y |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
y |
\ |
0 m |
/ |
|V3 M |
\ |
ICO Li_ |
/ |
0 M |
\ |
-iV3 m |
/ |
|V3 M |
\ |
0 m |
W tabelce oznaczyliśmy a = arccosJv/3 (kąt a ma około 35°16').
10.121. y=sinx(l — 2 sin2 x), okres 2tc; y'=cos .v (1 -6 sin2 x); początek współrzędnych jest środkiem symetrii krzywej; tabelka (w przedziale <0, 2jt»:
X |
0 |
... |
a |
... |
5* |
... |
n — a |
Jt + a |
... |
ł* |
2n —a |
... |
2n | ||||
COS X |
+ |
+ |
+ |
+ |
4~ |
0 |
- |
- |
- |
- |
- |
0 |
+ |
+ |
+ |
+ |
4- |
1 —6 sin2 x |
+ |
+ |
+ |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
- |
- |
0 |
+ |
4- |
4“ |
y |
+ |
4" |
+ |
0 |
- |
0 |
0 |
- |
0 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
+ |
-f | |
y |
/ |
0 |
/ |
|V6 M |
\ |
-1 m |
CM |
\ |
m |
y |
1 M |
\ |
-\y 6 m |
/ |
0 |
/ / |
W tabelce oznaczyliśmy a = arcsins/£ (kąt a ma około 24°15').
10.122. Funkcja jest określona w następujących przedziałach <%/2/czc, V(2k + 1) tt) < —V(2k+ l)jt, -yjlkn} (k = 0, 1,2,...); przy x=0 mamy ymin = 0, a przy x= ±Vł (4k+l) mamy ymax=l.
10.123. Funkcja jest określona dla wszystkich x; przy x — 2kn (k-0, ±1, ±2, ... mamy ymin = 0, a przy x = (2k + l)n (k=0, ±1, ±2,...) mamy ymax=j2\ w punktac minimum y' nie istnieje (ostrza).
10.124. Funkcja jest określona dla wszystkich x; przy .v=-l mamy ymax=^—I a przy x= 1 mamy ymin=I—punkt przegięcia (0,0); asymptoty y=x + 7i, y=x—T
10.125. ~ = t Przebieg toru jest następujący: przy r = 0 tor je
dx dx2
na wysokości y — 4, wówczas dyjdx = 0 i d2y/dx2 = — f; następnie tor opada i przy t = osiąga punkt najniższy y = 0, wówczas dyjdx = 0 i d2y/dx2 = %; przy dalszym wzrastaniu tor wznosi się nieograniczenie i obie pochodne rosną.
dy 3 t2 10.126. —=- •—r
dx 2 t + 1
r+2t
, przy r=0 jest y = 0 i obie pochodne
(t + 1)3
równe zeru; przy wzrastaniu t, tor wznosi się nieograniczenie i obie pochodne rosną.