34535 s66 67

66

Rozwiązania

1. Funkcję podcałkową przedstawiamy w postaci

x⁵ H- 5x — 3    ,,    ■„    3

- = X +0--,

x    x'

a więc mamy

ln |x| + C.

/' x⁵ + 5x - 3    f ( ₄    3 \    x⁵ _

/ ----dx =    / I i +a--I ai — — + ox — 3

2. Korzystając ze wzoru cos2x = cos² x — sin² x, otrzymujemy

/' 1 4- cos² x , f 1 + cos² x ,    /' 1 + cos² x ,

/ -— c/:r = / ---5—ax = / —---«.x

J 1 + cos 2x J 1 + cos² :c - siir x J 2 cos- x

1 I ' dx    1 f ,    1    1

= o / -~ + ó / ^ ^{=    +} C-

2 ,/ cos- x    2 J    2    2

3. Zauważmy, że

x⁴ — 81 = (x² — 9)(x² + 9) = (x — 3) (a; + 3)(x² + 9),

a więc

x⁴ - 81

/v

-dx

j (x + 3)(x² + 9)dx = y (x³ + 3x² + 9x + 27 )dx ^x* , „.3 , 9 2

+ x + — x“ + 27x + C. 4    2

4. Skorzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez części:

Jeżeli funkcje u i v mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne u' i v', to

I u(x)v'(x)dx

u(x)v(x) — I v(x)u'(x)dx

w tym przedziale. Marny więc

r	1 U — X	v — sin x 1
/ x sin xdx = <	[u = 1	v = — cos X J

= — xcosx +

I cosxdx

—x cos x + sin x + C.

5. Zgodnie z twierdzeniem o całkowaniu przez części, mamy

/

xaretg xdx

u = arctg.T 1

t; = x

x²    1 f

_TKCt SZ--J

1 + X² 1 + X² - 1

V =

2

= — arctgx

x~    1

d,x = — arctgx — -l + x²    2 ^b 2

1 + x-

dr

= y arctga: - i a: + ^arctg.T + C = i(x² + l)arctgx - ^x + C.

6. Stosując trzykrotnie twierdzenie o całkowaniu przez części, otrzymujemy

u = x³ 3.x"

.X

u = x“ u' = 2x

U = X

u' = 1

u = e u = e‘ «' = e i; = e^x

X

= x³e* — 3

x³e^x - 3

v = e v = e

X

x³e^x - 3

J x²e^xd,x

/“•

x²e^x — 2 ( xe^x — J e^xdx

x²e^x - 2

^,:c/x

x³e^x - 3x²e^x + 6xe^x - Ge^x + C = (x³ - 3x² + 6x - 6)e^x + C.

7. Na podstawie twierdzenia o całkowaniu przez części, mamy

x ln x — J dx

/ln xdx = <    i

I u' = —

u = ln x v = 1

V = X

= xlnx — x + C = x(lnx — 1) + C.

8. Skorzystamy z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie:

Jeżeli dla x G [a, b], funkcja g(x) = - u jest funkcją mającą ciągłą pochodu, oraz A < g{x) < B, a funkcja / jest ciągła w przedziale [A, B], to

f f (fj(^x)) g\x)dx = I f(u)du,

przy czym po Hcalkowimiu ni.tony prawej należy w otrzymanym wyniku podst wie u g{x).