Picture5

ri /Ykhiil 7.2

Znalc/ć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego dla funkcji: a) /( v, y) v' + lx²y + 3xy² + 4x - 5y,

(

I') /(v. v)

In

V

X

Ig- •

y)

Ad a) fUx,y)' = (Xⁱ)^,x + 2y(x²y_x + 3y²(x)'_t + 4(x)'_t -(5y)'_x = I \ i 2y2x + 3v‘ + 4 — 0 = 3.v" + 4xy + 3y² + 4;

r_v(x.y) = (x³y_y + 2x²(y)'_y +3x(y²);, ₊(4x)'_y -5(y)'_y =

0 + 2x² + 3x2y + 0 - 5 = 2x² + 6xy - 5.

Ad b) f_x(x,y) = -

( \ x

1

1

. -    2 -^r iy i . *    2 ^x v

te— COS — S J J X    ta r* o c -

x

y

X T X

tg— cos" —

y y

•Wr =

I

I

X

cos —

y

i

i

i

X 1 X V ■ X    2 x V .X X

tg cos*— ⁷ sin— cos — ⁷ ysin—cos—

y y    y y    y y

fl(x,y) = -

1	1		cos — ' _ y ^1 ,	rn
X 2 X tg— cos —		UJ	.X 2 X y sin— cos —	UJ
J	v y f i )		y y -X

2 . X X

y~ sin —cos —

y y

y²j

. X    X

sili —COS— s

y    y

Przykład 7.3

Znaleźć pochodne rzędu drugiego dla funkcji /(x, y) = 6x - 5yx + x².

/;(x, y) = 6(x)'_x - 5y³ (X); + (X² )> 6 - 5y³ + 2x, fy(x,y) = (6x)'_y -5x(yⁱy_y+(x²)'_y = 0-5x3y² + 0 = -15xy²,

/"( V. V) (6 5y' + 2.v)', O 0 + 2 2,

/<" (^v’.v) = (6 - 5.v^,ł t 2.v)',, 0 1Sy² t 0    15y²,

,/Z(x,y) = (-\5xy²)'_x -I5.y*\

fyy(x,)') = (-15.vv² )',=-! 5x2y = -30xy.

1‘i/yklad 7.4

Obliczyć elastyczności cząstkowe funkcji J[x,y) <■' ¹ w punkcie Vn 1 Vo = 2 i podać ich interpretację.

f;(x,y) = e^x-^2y(x-2y)'_x=e^x-²\ /,'(l,2) = e-^J,

E_xf(\,2)=-^e-³=l,

e

f;(x,y) = e^x-^2y(x-2y)'_y e' ^3,( 2). /;(l,2) = -2e-\    f(\, 2) c

^y(l, 2) = ^5- ■ (-2e"-^ł)    4.

Interpretacja:

1° Jeżeli zmienna x wzrośnie z poziomu 1 o 1% przy nie zmienionej wm tości y = 2, to wartość funkcji wzrośnie w przybliżeniu o 1 %.

2° Jeżeli zmienna y wzrośnie z poziomu 2 o 1% przy nie zmienionej wm tości x= 1, to wartość funkcji zmaleje w przybliżeniu o 4%.

Zadania

2. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu dla funkcji

. y

a)    f(x,y)= sin — ,

b)    f(x,y) = *cos(x+y),

c)    f(x,y) = tg—,

y

d)    f(x,y)= aretg —,

e)    f(x,y)= ln(x +y²),

0 f(x,y)= xe^xy,