CCF20090321033

ale matematyk nie może utożsamiać ich z zerem, jak mógłby to czynić fizyk, który by otrzymał którąś z tych liczb jako różnicę prawdopodobną długości linijek, z których każda ma około metra, przyjmując metr za jednostkę.

Gdybyśmy mogli powtórzyć losowanie 10 miliardów razy, nadzieja matematyczna otrzymania liczby a byłaby równa jedności. Nie znaczy to, że na pewno otrzymywalibyśmy liczbę a; znaczy to tylko, że otrzymywalibyśmy ją przeciętnie raz w każdej takiej serii 10 miliardów prób.

Zgodnie z wzorem S. D. Poissona¹, przy dziesięciu miliardów prób polegających na wylosowaniu 10 cyfr, prawdopodobieństwo nieuzyskania liczby a ani razu wynosi 36,8%; tyle samo wynosi prawdopodobieństwo uzyskania jej jeden raz; dwukrotnie mniej, tj. 18,4%, wynosi prawdopodobieństwo dwukrotnego jej wylosowania; trzy razy mniej, tj. 6,1%, wynosi prawdopodobieństwo trzykrotnego jej wylosowania itd. Gdybyśmy wykonywali po jednej próbie na sekundę, liczbę a otrzymywalibyśmy przeciętnie raz na około 300 lat (dokładniej raz na 317 lat).

(34) liczby dziesiętne losowe

Załóżmy z kolei, że chcielibyśmy wyznaczyć nieskończoną liczbę dziesiętną losując wszystkie jej kolejne cyfry. Nie możemy, rzecz prosta, wykonać wszystkich tych prób, ale matematyk może sobie wyobrazić, że liczba ich jest dowolnie duża, a tak właśnie definiuje się liczbę nieskończoną². Wie-

1    Porównaj Les probabilitós et ta vie, nota II.

2    Mówi się bowiem, że liczba nieskończona to taka liczba która jest większa od dowolnej danej liczby całkowitej. W ten sposób zdefiniowaną liczbę nieskończoną nazywamy potencjalną liczbą nieskończoną; owa nieskończoność potencjalna była jedynym pojęciem nieskończoności, jakim operowano w matematyce, dopóki Cantor nie wprowadził oznaczonej przez w liczby nieskończonej aktualnej.

my, że zgodnie z prawem wielkich liczb częstość każdej spośród 10 cyfr dąży do -¹- , gdy liczba prób wzrasta nieograniczenie. Oczywiście podobnie jest dla liczby utworzonej z dowolnej skończonej liczby cyfr. Jeśli weźmiemy pod uwagę dwie cyfry, na przykład 3 i 5, to prawdopodobieństwo wylosowania ich w takim porządku równa się ™ a zatem częstość występowania układu 35 wynie-sie ^¹. Podobnie częstość występowania układu 206 równałaby się jednej tysięcznej, a częstość występowania układu 10 cyfr, jaki stanowi liczba a, byłaby równa jednej dziesięciomiliardowej. Wynika stąd, że losując 10 razy na sekundę po jednej cyfrze otrzymywalibyśmy liczbę 3 co sekundę, układ 35 co 20 sekund, układ 206 co 300 sekund, tj. co 5 minut, i wreszcie układ a co 300 lat.

Liczbę dziesiętną nazywa się liczbą losową, jeżeli częstość graniczna jej cyfr oraz układów dowolnej liczby kolejnych jej cyfr podlega temu samemu prawu, jakiemu podlegałaby w przypadku liczb utworzonych z cyfr wybranych losowo, jeżeli więc częstość ta równa się jednej dziesiątej dla pojedynczej cyfry, jednej setnej dla układu dwóch cyfr, jednej tysięcznej dla układu trzech cyfr itd.

Ujmując zagadnienie z punktu widzenia teorii miary zbiorów punktowych stwierdzilibyśmy, że liczby nielosowe tworzą zbiór miary zero, podczas gdy miara zbioru liczb dziesiętnych losowych (zawartych między 0 a 1) równa się jedności². Liczby losowe należy zatem uznać za nieskończenie

71

1

   Taki układ dwóch cyfr można definiować dwojako: 10 jako układ dwóch pierwszych wylosowanych cyfr lub dwóch następnych (tj. trzeciej i czwartej), lub dwóch dalszych kolejnych cyfr (tj. piątej i szóstej) itd.; 20 jako układ dwóch pierwszych wylosowanych cyfr lub cyfry drugiej i trzeciej, lub trzeciej i czwartej, czwartej i piątej itd. pierwsze ujęcie wydaje się hardziej logiczne i prostsze; niemniej jednak oba prowadzą do takich samych wyników.

2

   Patrz: B. Borel, Elćments do ta Th&orie des ensemble#.