CCF20090321046

wodoru zmniejszyłoby wykładnik 300 zaledwie o kilka jednostek, co w najmniejszej mierze nie zmieniłoby naszych konkluzji.

Gracze, którym złudna nadzieja pokonania przypadku każe pieczołowicie notować kolejne wygrywające numery ruletki, nigdy podobno nie zaobserwowali, aby numery tej samej barwy powtórzyły się 'więcej niż 23 czy 24 razy z rzędu. Żaden z tych doświadczonych graczy nie zechciałby wykupić od Piotra jego szans odpowiadających 30 wyrazowi ciągu, tj. zobowiązaniu Pawła, iż wypłaci miliard franków, o ile padnie wynik, którego prawdopodobieństwo wynosi około jednej miliardowej (gdyż 2³⁰ nieznacznie tylko przewyższa 10⁹); 'wynik ten polegałby na tym, iż w 29 pierwszych rzutach padłaby reszka, a w 30 rzucie orzeł; jest to wynik tak samo nieprawdopodobny, jak pojawienie się reszki 30 razy z żzędu.

Wnioskujemy zatem, że jeśli nadzieja matematyczna Piotra stanowi sumę ciągu nieskończonego, którego wszystkie wyrazy są równe jedności, to tylko początkowe wyrazy tego ciągu rzeczywiście mogą być przedmiotem transakcji handlowej, a wartość następnych wyrazów staje się niebawem po prostu równa zeru, gdyż reprezentują one zgoła złudną nadzieję uzyskania sumy tak wielkiej', że wypłacić ją byłoby rzeczą wręcz niemożliwą.

Oto zupełnie proste rozwiązanie paradoksu petersburskiego. Postaramy się je uściślić w następnym rozdziale, w którym poruszymy kwestię możliwie dokładnego wyznaczenia granicy zamykającej tę część ciągu, której wyrazy mają jakieś realne znaczenie.

Odsyłamy również do dodatku zamieszczonego na końcu książki: „Strategia petersburska”, w którym rozważa się pewne właściwości nadziei matematycznej mające związek z paradoksem peters^& burskim.

8

sofizmat stosu ziarna

(47) sofizmat starożytnych

W poprzednich rozdziałach świadomie odłożyliśmy na bok kwestię dokładnego wyznaczenia wartości prawdopodobieństwa, które można uznać za pozbawione realnego znaczenia. Kwestia ta wiąże się ściśle ze słynnym sofizmatem stosu ziarna, który przekazali nam Grecy.

Jedno ziarno nie stanowi stosu ziarna ani dwa ziarna nie stanowią stosu, ani trzy... Z drugiej strony, każdy zgodzi się na stwierdzenie, że sto milionów ziaren stanowi stos. Gdzie zatem znajduje się właściwa granica? Czy można przyjąć, że 325 647 ziaren nie stanowi jeszcze stosu ziarna, ale 325 648 ziaren stanowi stos? Jeśli jednak nie można ustalić granicy, to nie wiadomo właściwie, co rozumiemy przez stos ziarna; wyrażenie to jest pozbawione wszelkiego sensu, aczkolwiek w pewnych skrajnych przypadkach jego użycie nie budzi niczyich zastrzeżeń.

Mógłby ktoś odrzec, że cała ta kwestia jest kwestią czysto werbalną, kwestią jałową i nieinte-resującą; można by się przecież umówić, że będzie się odróżniać za pomocą odpowiednich przymiotników niewielki stos ziarna od stosu zupełnie małego lub stosu dużego czy ogromnego. Ponieważ jednak liczba takich przymiotników jest, siłą rzeczy, ograniczona, przeto zabieg ten może jedynie odsunąć

f Prawdopodobieństwo i pewność    g^