CCF20130109015

Wykorzystanie (2.5) i (2.8) daje:

I„ =I_V cos²a + L sin²a-I_vz sin2a

y i    yo    ^zo    y»^zo

I_Z| =l_yo sin²a + I_Zo cos²a + I_yoZo sin2a    (2.11)

Iy,_Z| =(^₀ -I.Jsinacosa + I^ (cos² a-sin² a).

Wprowadzając do wzorów (2.11) znane zależności trygonometryczne, a mianowicie:

.?    1 — cos 2 a    2    1 +^cos 2ck

sin a =-, cos a =-,

2 2

2sinacosa = sin 2«, otrzymujemy ostatecznie:

1	(t + T )+-•	(t -l	leos 2a -1,,.	sin 2a,
2	' yo ^zo / 2	' ^0 ^zo	/ y«^zo
1	(i +iz )--•	(i -iz	leos 2a +1 „.	sin 2a,
2	' ^0 ^Z0 ' 2	' ^0 ^zo ■	) -^vo^zo

I_V7 =— (l_v -I. )sin2a + I_V7 cos2a.

y\^z\ 2 ^v y° ^z°'    w

(2.12)

(2.13)

(2.14)

2.4. GŁÓWNE CENTRALNE MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGURY

Układ osi o początku w środku ciężkości figury, względem których momcnl dewiacji jest równy zeru, nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności Główne centralne osie charakteryzują się tym, że momenty bezwładności obliczone względem nich osiągają wartości ekstremalne.

Przyrównując do zera (2.14) znajdujemy kąt ao, o jaki należy obrócić układ osi centralnychy₀, zo, aby otrzymać położenie głównych centralnych osi bezwładności, a mianowicie:

tg2a₀⁼-²¹^    .    (2.15)

Jeżeli figura płaska ma oś symetrii, wówczas jest ona jedną z głównych centrtil nych osi tej figury.

' i^]y„ + ^lz_a    ~ ^lz₀ } + ⁴ • ^l2y₀z₀ >

(2-16)

^{1    i})(^|,,+iJ4^o-ⁱJ⁺⁴'ⁱLo-

W ,iimick I =0 jest równoznaczny z warunkiem ekstremum I_y

t/a

— = o

• o *« I

. Można w związku z tym udowodnić, że I_;, i I_z są odpowied-

iii" największym i najmniejszym centralnym momentem bezwładności. Momenty nm|i| największe znaczenie przy określaniu wytrzymałości, sztywności i statecz-* • 111 Icinenlów konstrukcji.

I U/YKŁADY OBLICZANIA GEOMETRYCZNYCH i IIARAKTERYSTYK RÓŻNYCH PRZEKROJÓW

" lablicy 1 zestawiono wartości osiowych momentów bezwładności i momen-i|, w iiicji dla typowych figur prostych.

Tablica I

Momenty bezwładności

Uwagi

3

Przekrój

I

1	i ■i
T^1	B	i
	...
/-A
i

-s»Yo

---5*ób

—-*y\

/■Ar

I    i - ^b'^h

^y° 12 ’ ^z° 12

I =0,    1    = —

.^vo^zo ’ y i ^ i_v =i. =—

V0 ^zO 12 =°

I

”    3

© ^ł	0
Zl
7)	[7 '
0	©

** Znak momentu dewiacji trójkąta zależy od jego orientacji względem przyjętego układu osi centralnych, jak pokazano na rysunku