Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
Analiza harmonicznych
W rzeczywistych warunkach przebiegi prądów, napięć i sił
elektromotorycznych często są niesinusoidalne. Niesinusoidalne siły
elektromotoryczne powodują w obwodach przepływ niesinusoidalnych prądów.
Wobec tego prądy i napięcia w liniowych obwodach elektrycznych są zazwyczaj
odkształcone. W obwodach elektrycznych często występują elementy nieliniowe, jak
na przykład cewki mające rdzenie stalowe itp. Cechą charakterystyczną obwodów
nieliniowych jest to, że napięcie sinusoidalne powoduje przepływ prądu
niesinusoidalnego i odwrotnie, przy przepływie prądu sinusoidalnego napięcia są
niesinusoidalne. W związku z tym można powiedzieć, że elementy nieliniowe
powodują odkształcenia wielkości sinusoidalnych. Z tego powodu przy analizie
obwodów nieliniowych mamy zawsze do czynienia z prądami i napięciami
niesinusoidalnymi.
W niektórych przypadkach odkształcenie okresowych wielkości
niesinusoidalnych jest stosunkowo nieznaczne i wówczas można przyjąć, że prądy
i napięcia w obwodach są sinusoidalne.
W innych przypadkach takiego założenia nie można przyjąć i należy
rozpatrywać prądy niesinusoidalne.
Szereg Fouriera
W dalszych rozważaniach rozpatrywać będziemy okresowe funkcje f(t)
o okresie T czyli:
Załóżmy, że okresowe funkcje f(t) spełniają warunki Dirichleta:
- przedział o długości T można podzielić na skończoną liczbę takich części, w których
funkcja f(t) jest monotoniczna, tzn. jest bądz
rosnąca, bądz
też malejąca,
- funkcja f(t) ma na przedziale o długości T skończoną liczbę punktów nieciągłości,
a ponadto jej wartość bezwzględna jest ograniczona w każdym punkcie tego
przedziału.
Niech �=2Ą /T oznacza pulsację okresowej funkcji f(t). Jeśli funkcja f(t)
spełnia warunki Dirichleta, to można ją przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004 1
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
W powyższych wyrażeniach t0 oznacz dowolną wartość czasu t. Współczynniki Bk i Ck
nie zależą od wielkości t0.
Stałą C0 w powyższym wzorze obliczamy za pomocą wzoru na C0 przyjmując k = 0.
Stała C0=0 gdy:
Czyli gdy wartość średnia za okres funkcji f(t) równa jest zero. Stwierdzamy zatem,
że w przypadku wielkości przemiennych stała C0 równa się zeru.
Ogólny wyraz we wzorze można napisać w postaci następującej:
przy czym:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004 2
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
Oznaczając ponadto A0 = C0/2, możemy przedstawić szereg Fouriera w postaci
następującej:
Wyrażenie to ma szczególnie prostą interpretacje fizyczną: każdą wielkość okresową
spełniającą warunki Dirichleta można przedstawić w postawić w postaci sumy
wielkości stałej A0=C0/2 oraz nieskończenie wielu wielkości sinusoidalnych zwanych
harmonicznymi. Wielkość sinusoidalną o najniższej harmonicznej (k = 1) wartości
pulsacji nazywamy harmoniczną podstawową. Harmoniczna podstawowa ma taką
samą pulsację w = 2Ą /T, jak funkcja okresowa f(t) o okresie T. Wielkości
sinusoidalne o pulsacji k��, przy czym k > 1 nazywamy wyższymi harmonicznymi,
a k oznacza rząd harmonicznej.
Rozwinięcie w szereg Fouriera zawiera teoretycznie nieskończenie wiele
harmonicznych. W zastosowaniach praktycznych amplitudy wyższych harmonicznych,
których rząd jest wyższy od pewnej liczby n, są zazwyczaj pomijanie małe, wobec
czego można je pominąć. W związku z tym w szeregu Fouriera uwzględnia się
jedynie skończoną liczbę początkowych harmonicznych o rzędach od k = 1 to k = n.
Rozwinięcia funkcji
W praktyce często zachodzi potrzeba rozwinięcia funkcji okresowych w szereg
Fouriera, przy czym ich przebieg podany jest w postaci graficznej. Zagadnienie to
nazywa się analizą harmoniczną. Zajmiemy sie tu metodą arytmetyczną Perry�ego,
która wydaje się być najbardziej obrazową.
Okres 2Ą funkcji f(ą ) dzielimy na n równych części, wobec czego delta(ą ) = 2 Ą /
n. W punktach delta(ą ), 2�delta(ą ), 3�delta(ą ),..., n�delta(ą ) na osi 0-ą
wystawiamy rzędne y1, y2, y3,..., yn krzywej f(ą ), jak na rysunku.
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004 3
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
Wykorzystując wzory na wartość przybliżoną całki, zastępujemy całki we wzorach na
Bk i Bc przez sumy skończone; otrzymujemy
Im większe n tym większa dokładność wzorów przybliżonych.
Wartość skuteczna każdej harmonicznej :
1
Csk = Ck
k
2
a całego sygnału to:
2
"
fsk = (Csk )
"
k
k =0
Postać zespolona szeregu Fouriera
"
jk�0t
f (t) =
"F e
K
k=0
gdzie:
t0 +T
1
FK = f (t)e- jk�0tdt
+"
T
t0
Między wyrazami rozwinięcia funkcji okresowej w szereg Fouriera, a ich
transformacjami Laplace`a zachodzi związek:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004 4
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
1
FK = FT (s)
s= jk�0t
T
FT  obraz funkcji f(t) w przekształceniu Laplace`a
Związek ten pozwala na uzyskanie widma amplitudowego sygnału ze współczynników
szeregu Fouriera. Np. dla sygnału wykładniczego:
F(s) = F( jk�0t) = �FK
s= jk�0t
gdzie � - stały współczynnik  dla sygnału zanikającego pod koniec okresu �H"T
Przykłady rozwinięć w szereg Fouriera
a) przebieg schodkowy
T
u(t) = U0 �"[1(t) - 2�"(t - )] dla 0 d" t d" T
2
jego rozwinięcie w szereg Fouriera ma postać:
2U0 1 1 2Ą
u(t) = �"(sin�0t + sin3�0t + sin5�0t +...) �0 =
Ą 3 5 T
Na wykresie 1 wykreślono sygnał u(t) i jego pierwsze 3 harmoniczne. Wykresy 2-6
przedstawiają porównanie przebiegu sygnału u(t) do sum kolejnych harmonicznych.
b) przebieg piłokształtny
T
4U0
ż#
dla 0 d" t d"
�#
4
T
�#
T 3T
4U0
�#2U
dla d" t d"
u(t) = - t
�#
0
4 4
T
�#
4U0
�#
3T
�#- 4U0 + T t dla
d" t d" T
�#
4
jego rozwinięcie w szereg Fouriera ma postać:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004 5
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
2U0 1 1 2Ą
u(t) = �"�#sin(�0t)- sin(3�0t)+ sin(5�0t)- ....ś# �0 =
ś# ź#
Ą 32 52 T
�# #
Wykres 7 przedstawia sygnał u(t) i jego pierwsze 3 harmoniczne. Wykresy 8 i 9
pokazują różnice pomiędzy sygnałem u(t), a sumami : 1-wszej i 2-giej (Wykres 8),
1-wszej, 2-giej i 3-ciej (Wykres 9) harmonicznej.
Szereg Fouriera stanowi dobra aproksymację sygnału  zwłaszcza przy dużej ilości
zastosowanych harmonicznych. Warto jednak zauważyć że w przypadku sygnału
schodkowego wymagana do uzyskania dopasowania liczba harmonicznych jest
większa niż dla sygnału piłokształtnego  poza tym przebieg powstały dzięki
zastosowaniu rozwinięcia w szereg Fouriera posiada charakterystyczne  rogi i jest to
niezależne liczby harmonicznych.
Wykonanie ćwiczenia
Badanie odpowiedzi układu na wymuszenie
Jeżeli na układ o transmitancji operatorowej H(s) zadziałamy sygnałem
pobudzającym u(t)=�(t)  (deltą Diraca)
y(t)=h(t)
u(t)=�(t)
- postać czasowa
H(s)
u(s)=1 y(s)=H(s)
- transformata LaplacŁ a
to na wyjściu układu powinniśmy otrzymać jego transmitancję H(s) lub H(j�) 
widmo układu.
Ponieważ pobudzenie układu impulsem Diraca jest praktycznie niewykonalne to
widmo układu uzyskuje się w inny sposób:
1
Jeżeli układ pobudzany jest skokiem jednostkowym 1(t) (transformata Laplace a )
s
1
to odpowiedz układu ma postać Y (s) = H (s) stąd H (s) = sY (s) . Aby uzyskać widmo
s
sygnału H(j�) należy więc obliczyć pochodną sygnału odpowiedzi na skok
jednostkowy, a następnie dokonać transformaty Laplace`a lub Fouriera.
a) układ pierwszego rzędu
Badamy układ:
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004 6
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
wejście : u(t)=e(t)=E1(t)
wyjście : y(t)=uC(t)
Transmitancja operatorowa:
E
H (s) =
2
(�� ) +1
gdzie �=RC  stała czasowa obwodu
Wartość skuteczną sygnału otrzymujemy z poniższego wzoru. Cskk to amplitudy
poszczególnych harmonicznych uzyskane za pomocą próbkowania cyfrowego sygnału
odpowiedzi układu. Odczytujemy je z wydruku z programu MATLAB, do którego
sygnał został przesłany w postaci cyfrowej z urządzenia próbkującego:
n
2
Uc =
"C
skk
sk
k=0
Parametry transmitancji uzyskujemy przez dopasowywanie przebiegu otrzymanego
i przetworzonego na postać cyfrową z przebiegiem idealizowanym przez program
MATLAB. Odczytujemy wartość � i E:
b) układ drugiego rzędu
wejście: u(t)=E1(t)
wyjście: y(t)=uC(t)
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004 7
Zastosowanie analizy harmonicznych do identyfikacji parametrów układu dynamicznego
Transmitancja operatorowa:
E
H (s) =
2
2
�# ś#
2
ś#1- �# � ś# ź#
ś# ź#
(�RC) +
ś#� ź#
ś# ź#
�# 0 #
�# #
Wartość skuteczną, tak jak poprzednio, sygnału otrzymujemy z poniższego wzoru.
Cskk to amplitudy poszczególnych harmonicznych uzyskane za pomocą próbkowania
cyfrowego sygnału odpowiedzi układu. Odczytujemy je z wydruku z programu
MATLAB, do którego sygnał został przesłany w postaci cyfrowej z urządzenia
próbkującego
n
2
Uc =
"Cskk
sk
k =0
Parametry transmitancji otrzymujemy analogicznie jak poprzednio: poprzez
dopasowanie wykresu odpowiedzi spróbkowanego a następnie przesłanego do
MATLAB a z charakterystyką teoretyczną.
Podsumowanie
Problemy związane z identyfikacją parametrów obiektów i sygnałów są kluczowym
zagadnieniem w dziedzinie sterowania i obejmują bardzo szeroki materiał, którego
małą część przedstawiono w niniejszym opracowaniu. Dzięki analizie harmonicznych
możliwe jest dokładne poznanie modelu, z którym mamy do czynienia. Ta wiedza
pozwala nam sterować pracą całego systemu, patrząc na to globalnie. Zatem wiedza
ta jest nam niezbędna do poznania i rozumienia, a także modelowania owych
systemów złożonych z mniej lub bardziej skomplikowanych układów dynamicznych.
Bibliografia
1. Aleksandra Zimmer: Identyfikacja obiektów i sygnałów  teoria i praktyka dla
użytkowników MATLABA, Skrypt Politechniki Krakowskiej, Kraków 1998
2. Stanisław Bolkowski: Elektrotechnika, WSiP, Warszawa 1993
3. Stanisław Bolkowski: Elektrotechnika teoretyczna. T. 1, Teoria obwodów
elektrycznych, WNT, Warszawa 1986
4. Kazimierz Mańczak, Zbigniew Nahorski: Komputerowa identyfikacja obiektów
dynamicznych, PWN, Warszawa 1983
5. Bogusława Mrozek, Zbigniew Mrozek: MATLAB. Uniwersalne środowisko do
obliczeń naukowo-technicznych, Wydawnictwo CCATTE, Kraków 1995
6. MATLAB User s Guide  toolbox: Control, toolbox: System Identufication. Inc.
Natick 1994
Opracowanie: Paweł Halicki, PK WIEiK 2004 8