Obwody liniowe prądu
sinusoidalnego w stanie ustalonym
Obwody liniowe, utworzone z oporników, cewek,
kondensatorów pobudzane prądami i napięciami
z
ródłowymi, będącymi sinusoidalnymi funkcjami
czasu o tej samej pulsacji �.
Rozpatrujemy taki stan obwodu,
w którym odpowiedzi (prądy i napięcia)
są również sinusoidalnymi funkcjami czasu o pulsacji �.
Dlaczego sinusoida?
A
atwość wytwarzania napięć i prądów sinusoidalnie
zmiennych za pomocą prądnic lub generatorów
sygnałów sinusoidalnych.
Gdzie występują?
- sieć energetyczna
- fale nośne i sygnały synchronizujące w telekomunikacji
- w miernictwie
- w elektronice analogowej
Specyficzne właściwości matematyczne
- całkowanie i różniczkowanie nie zmienia natury funkcji
- sygnały niesinusoidalne okresowe mogą być rozwinięte
w szereg Fouriera o elementach będących funkcjami
sinusoidalnymi
Kondensator liniowy
Cechą charakterystyczną kondensatora jest gromadzenie
ładunku elektrycznego.
A
adunek q(t) kondensatora liniowego jest proporcjonalny
do napięcia u(t) na zaciskach kondensatora
q(t) = Cu (t)
C - pojemność kondensatora w faradach (F)
i(t) C
C
1F = 1
V
u(t)
dq(t)
i(t) =
q(t) = Cu (t)
dt
du(t)
i(t) = C
dt
u (t )
t t
du(�)
d� = C
+"i(�)d� = C+" +"du = C(u(t) - u(0))
d�
0 0 u (0)
t
1
( ) ( ) ( )
u t = u 0 + i � d�
+"
C
0
u(0) jest napięciem początkowym kondensatora
występującym w chwili t=0.
Wniosek
Napięcie na kondensatorze w chwili t zależy od napięcia
początkowego u(0) oraz od przebiegu prądu w przedziale
czasu 0-t.
Z tego powodu mówimy, że kondensator pamięta przeszłość.
wc (t)
Energia kondensatora w chwili t jest równa energii
dostarczonej z generatora w czasie od t0, gdy energia
kondensatora wynosiła 0, do t
1
Wc (t) = Ac (t0 , t) = C(u(t))2
2
Szeregowe i równoległe połączenie kondensatorów
u(0)= u1(0)+ u2(0)
i(t)
C1 C2
i(t) C
u1(t)
u2(t)
u(t)
u(t)
dwa kondensatory o pojemnościach C1 i C2 oraz napięciach
początkowych u1(0) i u2(0)
1 1 1
( ) ( ) ( )
u 0 = u1 0 + u 0
= +
2
C C1 C
2
Uzasadnienie
przez obydwa kondensatory przepływa ten sam prąd i(t)
t t
1 1
u1(t ) = u1(0)+ u2 (t ) = u2 (0)+
+"i (�)d� +"i (�)d�
C1 0 C2 0
NPK
tt t
1 1 1
u (t)= u1(0)+ u2 (0)+
+"i (�)d� + C2 +"i (�)d� = u(0)+ C +"i (�)d�
C1 00
0
1 1 1
( ) ( ) ( )
u 0 = u1 0 + u 0
= +
2
C C1 C
2
u (0)= u1(0)+ u2(0)+ ... + un(0),
1 1 1 1
= + + ... + .
C C1 C2 Cn
u(0)= u1(0)= u2(0)
i1(t)
C1
i(t)
C = C1 + C2
i(t)
i2(t)
C2
u(t)
u(t)
dwa kondensatory o pojemnościach C1 i C2 oraz napięciach
początkowych u1(0) i u2(0)
napięcia kondensatorów są jednakowe w każdej chwili t. Wynika
stąd w szczególności równość napięć początkowych u1(0) i u2(0).
du(t) du(t)
i1(t) = C1 i2(t) = C2
dt dt
PPK
du(t) du(t)
i(t)= i1(t)+ i2 (t)= C1 + C = (C1 + C )du(t)
2 2
dt dt dt
( )
du t
( )
i t = C
dt
( ) ( ) ( )
u 0 = u1 0 = u 0
C = C1 + C
2
2
u(0) = u1(0) = u (0) = ... = u (0),
2 n
C = C1 + C + ... + C .
2 n
Cewka liniowa
Strumień magnetyczny skojarzony cewki liniowej jest
�(t)
proporcjonalny do prądu i(t)
płynącego przez cewkę
( )( )
� t = Li t
L - indukcyjność cewki - jednostka indukcyjności - henr (H)
Wb
1H = 1
A
Wb (weber) - jednostka strumienia magnetycznego
i(t)
L
u(t)
Zgodnie z prawem indukcji Faradaya napięcie na cewce
( )
d� t
( )
u t =
( ) ( )
� t = Li t
dt
( )
di t
( )
u t = L
dt
( )
di t
( )
u t = L
dt
i(t )
t t
di(�)
d� = L
+"u(�) d� = L+" +"di = L(i(t) - i(0))
d�
0 0 i(0)
t
1
( ) ( ) ( )
i t = i 0 + u � d�
+"
L
0
Prąd cewki w chwili t zależy od prądu początkowego i(0) oraz od
napięcia u(t) w przedziale czasu .
0 - t
Mówimy, że cewka pamięta przeszłość.
Połączenie szeregowe cewek
L1 L2
i(t)
u2(t)
u1(t)
u(t)
prąd płynący przez obie cewki jest w każdej chwili
jednakowy
( ) ( ) ( )
i1 0 = i2 0 = i 0
( ) ( ) ( )
u t = u1 t + u t
2
di1(t)
di2 (t)
u1(t)= L1
u (t)= L2
2
dt
dt
( ) ( ) ( )
di t di t di t
( )
u t = L1 + L2 = L
dt dt dt
L = L1 + L2
( ) ( ) ( )
i1 0 = i2 0 = i 0
Połączenie równoległe cewek
( ) ( )( )
i 0 = i1 0 + i2 0
1 1 1
= +
L L1 L2
f (x) = Asin x
A - amplituda,
x - kąt mierzony w radianach
x = �t
� - pulsacja mierzona w radianach na sekundę
sygnał sinusoidalny ma postać
f (t) = Asin �t
jest to okresowa funkcja czasu o okresie T
Kąt x, odpowiadający okresowi, wynosi 2Ą radianów
2Ą = �T
2Ą
� =
T
Liczba okresów w ciągu jednej sekundy wynosi
1
- częstotliwość sygnału [Hz]
f =
T
� = 2Ąf
f (t) = Asin �t
f (t) = Asin �(t - t1 )= Asin (�t - �t1 )= Asin (�t + ą)
ą = -�t1
faza początkowa
funkcji sinusoidalnej
2Ą
t1
� =
ą = -2Ą
T
T
A =15 ,
T = 8ms ,
1 1
o
(
f (t) = 15sin 250 Ą t + 45 )
f = = =125Hz ,
T
8 �"10-3
r
� = 2Ąf = 250Ą ,
s
(-1) Ą
ą = -2Ą = co odpowiada 45o.
8 4
( = Asin �t + ą + 2Ą n
Asin �t + ą) ( )
ą + 2Ą n
n = 0, ą 1, ą 2,...
faza początkowa
Przyjmuje się, że fazę początkową ą określa ten punkt
przejścia funkcji sinusoidalnej przez zero,
który jest najbliższy początkowi układu współrzędnych
i odpowiada rosnącemu fragmentowi sinusoidy
A = 10, T = 16ms
1 r
f = = 62 ,5Hz , � = 125 Ą
-3
s
16 �"10
t1 = -6
(-6) 3
o
ą = -2Ą = Ą lub 135
16 4
o
(
f (t) = 10sin 125 Ą t + 135 )
f (t) = Asin (�t + ą ) ,
g (t) = Bsin (�t + � ) .
różnica faz (przesunięcie fazowe) sygnałów
ą - �
f(t) i g(t)
Jeżeli ą>�, to mówimy, że sygnał
f(t) wyprzedza sygnał g(t) o kąt (ą-�).
Jeżeli ą < �, to mówimy, że sygnał f(t) opóz
nia
się względem sygnału g(t) o kąt (�-ą).
W przypadku, gdy ą=� mówimy,
że sygnały f(t) i g(t) są w fazie.
o
f (t) = 15cos (1000 t + 20 )
o
g (t) = 120 sin (1000 t + 60 ) .
o
(
sin 90 + x)= cos x
o
(
f (t) = 15sin 1000 t + 110 )
o o o
110 - 60 = 50 .
o
f (t) wyprzedza g (t) o
50
Wartość średnia
(
u(t) = U sin �t + �u )
m
Wartością średnią sygnału okresowego o okresie T
nazywamy liczbę określoną następująco
t0 +T
1
Ysr = y(t)dt
+"
T
t0
Dla przebiegów sinusoidalnych wartość średnia równa się zeru
Wartości skuteczne
(
u(t) = U sin �t + � )
m u
T
def def
1
2
U = U =
sk
+"(u(t)) dt
T
0
T
1
2 2
U =
m
+"U sin (�t + �u ) dt
T
0
T
1
2 2
U =
m
+"U sin (�t + �u ) dt
T
0
1
2
sin x = (1 - 2cos 2x)
2
T T
1
2 2 2
( - cos(2 � t+ 2�u ) dt =
1 )
m m
+"U sin (�t + �u ) dt = U +"
2
0 0
T
1 1
2 2
= U T - U cos(2�t + 2�u ) dt .
m m
+"
2 2
0
T
funkcja sinusoidalna o okresie
()
cos 2�t + 2�
u
2
T
()
cos 2�t + 2�u dt = 0
+"
0
U
1 1
2
m
U = �" U T =
m
T 2
2
U
m
U =
()
u(t) = U sin �t + �
m u
2
I
m
I =
()
i(t) = I sin �t + �
m i
2
Interpretacja energetyczna
Energia wydzielona w oporze R w przedziale czasu o
długości okresu przez prąd okresowy i jest równa
energii,jaka w tym oporze i w tym samym czasie
wydzieliłby prąd stały o wartości I=Isk.
= � +�x
x(t) Xm sin( t )
x(t)
Xm
�x
� = �1 -�2
Przebiegi przesunięte o kąt:
x1(t),x2(t)
1,5
1,0
x1(t) = Xm1 sin(�t +�1)
0,5
�1 > 0
0,0
t
-0,5
x2(t) = Xm2 sin(�t +�2)
-1,0
�2 < 0
-1,5
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020
�1
�2
� = �1 -�2 > 0
W przeciwfazie
x1(t),x2(t)
1,5
x1(t) = X sin (�t + �1)
1,0
m1
0,5
x2 (t) = X sin (�t + � )
m 2 2
0,0
t
-0,5
-1,0
-1,5
T = 0.02 s
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020
2Ą rad
� = 2Ą f = = Ą �"102
T s
� = �1 -�2 =180o
Wektory a sinusoida
u(t) = U sin(�t + �u )
m
�
u
�
u
u(to ) = uo
Związek między wykresem wektorowym a czasowym
A  wykres wektorowy
A
B  wykres czasowy
B
i1(t) = Im1 sin( � t + �i )
1
i2 (t) = Im 2 sin(�t + �i )
2
�i
1
�i
2
�i �i
2
1
REZYSTOR idealny (liniowy)
Zależności podstawowe:
i(t) = Im sin(�t + �i )
u(t) = i(t)R
u(t) = U sin( �t + �u ) =
m
= RI sin( �t + �i )
m
stąd:
U = RI �u = �i
m m
U
I
�u = �i
UWAGA:
Prąd i napięcie opornika są w fazie,
tzn. nie ma przesunięcia fazowego między nimi !!!!!!!!!!!!
CEWKA idealna (liniowa)
i(t) = Im sin(�t + �i )
di
u = L
dt
Ą
u(t) = L�Im cos(�t + �i ) = U sin(�t + �i + )
m
2
U = �LI
m m
Ą
�u = �i +
2
Ą
� = �u - �i =
2
U
Ą
�u - �i = � =
2
�u
�i
I
UWAGA:
Ą
Prąd cewki opóz
nia się względem napięcia o
2
Kondensator idealny liniowy
u(t) = U sin(�t + �u )
m
du (t)
c
ic (t) = C
dt
Ą
ic (t) = C�U cos(�t + �u ) = C�U sin(�t + �u + )
m m
2
Ą Ą
Im = �CU �i = �u + � = -
m
2 2
I
Ą
�u - �i = � = -
2
�i
�u
U
UWAGA:
Ą
Prąd kondensatora wyprzedza napięcie o kąt
2
Połączenie szeregowe RL
R
L
i(t)
i(t) = Im sin(�t + �i )
uR(t)
uL(t)
u(t)
u(t ) = u + u =
R L
Ą
= R I sin( � t + � ) + � LI sin( � t + � + ) =
m i m i
2
gdzie
2
2
= R + (� L) Im sin( �t + �i + � )
�L
� = �u - �i = arc tg
R
�u
Um
Takiemu połączeniu odpowiada trójkąt impedancji:
2
2
Z = R + (� L)
X = � L
�
R
R - rezystancja
X  reaktancja indukcyjna
Z  impedancja (moduł impedancji)
Takiemu połączeniu odpowiada wykres wskazowy:
R
L
i(t)
uR(t)
uL(t)
u(t)
UL
U
� > 0
UR
�
I
Połączenie RC
R
i(t)
C
i(t) = Im sin(�t + �i )
uR(t)
uC(t)
u(t)
u (t ) = u + u =
R C
1 Ą
= R I sin( � t + � ) + I sin( � t + � - ) =
m i m i
� C 2
2
�# ś# 1
1
2
ś# ź# -
= R + I sin (� t + � + � )
m i
ś# ź#
� C
� C
�# #
gdzie � = arc tg
R
�u
Um
Takiemu połączeniu odpowiada trójkąt impedancji:
R
�
1
X = -
2
�# ś#
1
2
� C
ś# ź#
Z = R +
ś# ź#
� C
�# #
� < 0
R - rezystancja
X  reaktancja pojemnościowa
Z  impedancja (moduł impedancji)
Połączeniu odpowiada wykres wskazowy:
R
i(t)
C
uR(t)
uC(t)
u(t)
UR
I
� UC
U
� < 0
Połączenie R L C
R
L
i(t)
C
uR(t)
uL(t)
uC(t)
u(t)
i(t) = Im sin(�t + �i )
Przyjmijmy, że
uR = Im R sin (� t + �i )
Ą
�# ś#
uL = Im � L sin � t + �i +
ś# ź#
2
�# #
1 Ą
�# ś#
uC = Im sin � t + �i -
ś# ź#
� C 2
�# #
u = uR + uL + uC =
2
�# ś#
1
2
ś#
= Im R + (� t + �i + � )
ś#� L - C ź# sin
ź#
�
�# #
�u
Z
Um
1
� L -
� C
� = arc tg
R
Takiemu połączeniu odpowiada trójkąt impedancji:
1
X = -
2
�C
�
R
1
1
X = - X1 = �L
X
Z
2
Z
X2 = -
�C
X
X1 = �L �C
�
�=0
X = 0
X1 = �L
R
R
Z
1
1
1
� L - � L -
� L -
� C � C
� C
� = arc tg = 0
� = arc tg > 0
� = arc tg < 0
R
R R
1
1
X > 0
�L >
�L - > 0
�C
�C
U > U
L C
U
L
U
C
U
� > 0
�
U = RI
I
R
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
1
1
�L - < 0
X < 0
�L <
�C
�C
U < U
C L
U
L
U = RI
R
I
�
� < 0
U
C
U
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
1
1
1
�L =
�L - = 0
X = 0
�r =
�C
�C
LC
U = U
L C
U
L
U
C
X (�r ) = 0
� = 0
I
= U
U
R
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
Połączenie równoległe RLC
I
C
U G L
I R
I L I C
Y
B
G
2
�# ś#
1
2
ś# ź#
Y = G +
ś#� C - ź#
� L
�# #
1 1
B > 0
�C >
�C - > 0
�L
�L
IC > I
L
IC
I
L
I
� < 0
�
I = GU
U
R
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
1 1
�C - < 0 �C <
IC < I
B < 0
L
�L �L
Ic
I = GU
R
U
�
� > 0
I
L
I
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
1
1
1
�C - = 0 �C =
�r =
B = 0
�L
�L
LC
I = IC
L
IC
I
L
B(�r ) = 0
� = 0
U
GU
= I = I
R
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
Moce
w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego
Moce w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego
Moc chwilowa, czynna i bierna
i
(
i = Im sin � t + � )
i
()
u = U sin � t + � + �
u
m i
�
u
Mocą chwilową dwójnika nazywamy iloczyn wartości
chwilowych prądu i i napięcia u.
( ) (
p = ui = U Im sin � t + � sin � t + � + � )
m i i
p
u,i,p
i
u
P = U I cos �
� t
3
0
Ą
Ą
2Ą
Ą
2
2
u(t) = U sin(�t + �u )
m
i(t) = Im sin(�t + �i )
� = �u - �i
DEFINICJA
Mocą czynną P dwójnika (u,i są wielkościami okresowymi)
nazywamy wartość średnią za okres mocy chwilowej:
T
1
P = p = pdt
+"
T
0
Można wykazać, że dla przebiegów sinusoidalnie
zmiennych:
T T
1 1
P = p = pdt = ( p1 + p2 )dt =
+" +"
T T
0 0
T
1
= p1dt =U I cos �
+"
T
0
WZÓR:
P = U I cos �
pozwala wyznaczyć moc czynną dwójnika, czyli miarę
energii pobieranej przez dwójnik w czasie jednego okresu:
T
wT = pdt = PT
+"
o
W obwodach prądu zmiennego definiuje się również moc bierną:
Q = U I sin �
będącą miarą energii wymienianej między z
ródłem energii a
odbiornikami o charakterze reaktancyjnym (polem elektrycznym
kondensatora i polem magnetycznym cewki).
Inaczej:
Amplituda składowej przemiennej mocy chwilowej jest
wartością bezwzględną mocy biernej.
1[Q] = 1Var
Zgodnie z definicją
p = u(t)i(t) =
= Um sin(�t +�u )Im sin(�t +�i ) =
= UmIm sin(�t +�i )sin(�t +�i2�) =
1+3
�u
1
= UmIm(cos� - cos(2�t + 2�i +�))=
2
= U I cos� - U I cos(2�t + 2�i +�)=
(**) ą = 2�t + 2�i � = �
= U I cos�(1- cos(2�t + 2�i ))+
14444 3
4244444
p1
+ U I sin� sin(2�t + 2� )
1444 3
424444i
p2
- składowa tętniąca mocy chwilowej
p
1
- składowa przemienna mocy chwilowej
p
2
p
p,p1,p2
p1
p2
0
� t
Ą
Ą
2
p2
Rozkład mocy chwilowej na moc tętniącą p1 i moc przemienną
Trójkąt mocy
P
2
�
S = P2 + Q
Q>0
Q<0
2
S = P2 + Q
�
P