J .Szantyr  Wykład nr 17  Podobieństwo przepływów II
Analiza wymiarowa równania zachowania energii
Postać wyjściowa równania zachowania energii:
�ł łł
�ł 2 2 �ł �ł
u
2 �ł " �ł 2 2 �ł 2 �ł 2 2 �łśł 2 2 2 2 2
� + c T + (u " grad)�ł u2 2 + c T = � f " u - div(p [E]u )+
�ł �ł �ł �ł
2
�ł łł �ł łł
�ł"t2 2 �ł
2
2 2 2 2 2 �ł 2 2
- div�ł � divu [E]u - 2� [D]2 u + div( gradT )
�ł �ł
3
�ł łł
Konieczne jest wprowadzenie dodatkowych współczynników skal:
2
 = ą
2 2
c = ącc T = ąTT
Warunek równoważności równania zachowania energii w obu skalach
prowadzi do warunku:
2 3 2
ą�ąu ą�ącąT ą�ąu ą�ąuącąT ą�ąu ą�ąu ąąT
= = = = ą�ą ąu = = =
f
ąl ąt ąl ąl ąl ąl2 ąl2
Z powyższego równania wynikają znane już
wcześniej liczby Strouhala, Froude a, Eulera i
Reynoldsa oraz dwa nowe kryteria
podobieństwa:
2 2
u2 u
Ec = =
Liczba Eckerta:
2 2 Ernst Eckert 1904 - 2004
cT c T
Liczba Eckerta wyraża stosunek energii kinetycznej makroskopowego
ruchu płynu do energii ruchu molekularnego (energii wewnętrznej)
płynu.
płynu.
Ludwig Prandtl
2 2
c� c �
Liczba Prandtla:
Pr = = 1875 - 1953
2
 
Liczba Prandtla wyraża stosunek intensywności
transportu pędu płynu do intensywności transportu
energii płynu
Liczba Prandtla jest jedyną liczbą kryterialną składającą się tylko ze
stałych materiałowych.
Przy wykorzystaniu liczb kryterialnych równanie zachowania energii
może być zapisane w postaci bezwymiarowej:
2
�ł �ł
" u2 Sh " 1
�ł �ł
Sh� + � (cT)+ �(u " grad)u + �(u " grad)(cT)=
�ł �ł
"t 2 Ec "t 2 Ec
�ł łł
1 1 2
= �f " u - Eu �" div(�[E]u)- div�ł �divu[E]u - 2�[D]u +�ł
�ł �ł
Fr Re 3
�ł łł
1
( )
+ div(gradT)
Pr�" Re�" Ec
Pr�" Re�" Ec
Wszystkie parametry przepływu występujące w powyższym równaniu
są odniesione do wartości charakterystycznych tych parametrów.
Analiza wymiarowa równania bilansu entropii
Postać wyjściowa równania bilansu entropii:
2 2 2
p "�
�ł
2 �ł"e 2 2 łł 2 z2 2 2 �ł 2
� + u " grade = T sm + + u " grad� +  "T
�ł �ł
�ł śł
2 2 2
"t � "t
�ł �ł �ł łł
Równanie bilansu entropii nie wymaga wprowadzenia dodatkowych
skal. Wykorzystanie skal już wprowadzonych daje następujący
warunek identyczności równań zapisanych w dwóch różnych skalach:
warunek identyczności równań zapisanych w dwóch różnych skalach:
2
ą�ącąT ą�ąuącąT ą�ąu ą ą ąu ąąT
p p
= = = = =
ąt ąl ąl2 ąt ąl ąl2
Z warunku tego nie wynikają żadne nowe liczby kryterialne.
Równanie bilansu entropii może być przedstawione w postaci
bezwymiarowej przy użyciu dotąd wyprowadzonych liczb
kryterialnych.
Bezwymiarowa postać równania bilansu entropii:
" Ec p "�
z
Sh �" � (cT)+ �(u " grad)(cT)= Tsm + Eu �" Sh�" Ec +
"t Re � "t
p 1
+ Eu �" Ec (u " grad)� + "T
� Pr�" Re
Podsumowanie
Bezwymiarowa postać równań mechaniki płynów pozwala na łatwą
Bezwymiarowa postać równań mechaniki płynów pozwala na łatwą
ocenę względnej ważności poszczególnych członów równania w
opisie konkretnego przepływu. Mała wartość współczynnika
złożonego z liczb kryterialnych może być podstawą do
wprowadzenia uproszczenia polegającego na usunięciu danego
członu równania. Należy jednak uważać, aby przez takie
uproszczenie nie zmieniać rzędu równania. Np. odrzucenie członów
lepkościowych w równaniu zachowania energii obniża rząd
równania, co uniemożliwi spełnienie warunków brzegowych.
Rozwiązanie układu równań mechaniki płynów w postaci
bezwymiarowej ma ogólną postać:
F(Sh, Fr, Eu, Re, Ec, Pr)= 0
Jeżeli wszystkie liczby kryterialne zawarte w powyższym wzorze
mają te same wartości w przepływach o różnych skalach, to znaczy
że przepływy te są podobne.