DSCF2545

i, P®wm schematy mchunkti pfHwdopodobleńsiwa

Pa/YMAo .1.1,7, Mamy 2 urny typu /f, zawierając po 3 białe i 7 czarnych kuj,) J typa z/ji zawierające po 2 białe, 3 czarne, 5 zielonych kul oraz 3 urn typu //*, # tyA z których znajduje się I biała i 9 czarnych kul.

Pobieramy losowo 3 kule ze zwrotem, Izm po kaftłym Jodowaniu kułi zwracaj $,,1 urny, z której zwiała wyciągnięta, Obliczyć prawdopodobieństwo, Ze co najwy^j^J kula będzie czarna,

p o/wiązanie, /starzenie B_f polegające na otrzymaniu co najwyżej jednej hhtiA ncj wśród trzech wylosowanych kul, jest równe alternatywie wykluczających się

nie wylosowanie ani jednej kuli czarnej w trzech losowaniach, E_t — wylosowanie jeriąl kuli czarnej w trzech losowaniach:

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia C, polegającego na wylosowaniu w dynczym ciągnieniu kuli czarnej, /darzenie C jest równe alternatywie wykluczających^ zdarzeń A,' C_t A$/C, A*- C, gdzie zdarzenie d/ (/* 1, 2, 3) polega na lowwjfti urny typu A,,

Na podstawie twierdzenia 4,5,3 mamy:

P(Q*/^J(A_lyP(ClA_l)4P(A₃r/'«’.'lA₂) + /'(A₉)'/^J(ClA_jl)

e, Tą, J» KmJL • & mil 10 I G '16 10 ^r 16 10    2 )5'

Ola obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeń E„ i korzystamy ze wzoru iJcrnoullieg/, kładąc a es 3, £<*0 lub A*1, p^mfy

i wobec tego

niii-PW.A+PUlt)

wio

",*0,242,

PM/.ygj.AO 5,1,z,, 'tekst przykładu 4,9,1, Pobieramy losowo z całej przemieszanej masy , towarowej 3 sztuki, zwracając je po kaZdyrn pobraniu i stwierdzeniu gatunku. Obliczył II prawd(podobieństwo P{B)i te dwie sztuki będą drugiego gatunku,

Rozwiązanie, Obliczamy prawdopodobieństwo p zdarzenia polegającego na wyło* I sowaniu sztuki II gatunku przy jednokrotnym pobraniu, Prawdopodobieństwo otrzyma- I nia sztuki II gatunku jest równe prawdopodobieństwu, Ze sztuka będzie pochodzić z fiw I szyny typu A i będzie II gatunku albo z maszyny typu H i będzie II gatunku albo z maszyny I typu C i będzie II gatunku, Są to zdarzenia wykluczające; ślę, natomiast zdarzenie pole* I gające na wylosowaniu sztuki II gatunku jest zależne od typu maszyny, Stosując twief- I dzenie 4,5.3 otrzymujemy

P^HUA+UBiliC)"

•PU)' P(H\A)Ą’P(0) P(lf(0>4-P(C)' P(IU\C)-

_—JL/ 4# i # , )f . J ^ _ w* _ a <0 166 ^r 16 I66'^ri0 106    1666

Do obliczenia szukanego prawdopodobieństwa P(ft) pojawienia się dwóch sztuk II gatunku stosujemy wzór tiernouKiego;

P(B)m/>_h j«U' (0,358)²'0,642*0,247,

PRZYKŁAD 5.1,9, Tekst przykładu 4,9,1, Pobieramy losowo cztery sztuki ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo P(£) tego, że co najmniej trzy sztuki będą I gatunku. Rozwiązanie, Rozumując jak w przykładzie 5,1,8, otrzymujemy

P**P(A ■ t + B‘l + C'l)*‘P(A)'P(l\A)+P(B)'P(l\B) + P(C)'P(l\C)"i

M ^    ^ , *0 , 2 , JO /« /JJ

te ioo^To ioó^r te iofi ^v,0>'

Prawdopodobieństwo P(E) otrzymania co najmniej trzech sztuk I gatunku jest równe prawdopodobieństwu otrzymania trzech albo czterech sztuk tego gatunku. Obliczamy je ze wzoru tternoulliego:

P    - / V j+/V 4 - Q'⁽°t⁶ ' 0,39 4-(0,61 ^ * 0,49.

Przykłao 5.1.10, W urnie są 4 kule białe i 6 kul czarnych. Losujemy 4 razy po 5 kul i po każdym losowaniu wrzucamy je do urny, Jakie jest prawdopodobieństwo, te 2 razy wylosujemy 5 takich kul, wśród których będą 3 kule czarne?

R oz w i ąza n i c, W każdym zdarzeniu sprzyjającym mają wystąpić trzy kule czarne i dwie białe, 7, sześciu kuJ czarnych można utworzyć tyle Żądanych trójek, ile jest kombinacji bez powtórzeń z 6 elementów po 3, tj. C\. Analogicznie z 4 kul białych można utworzyć Cl kombinacji z 4 elementów po 2, Do każdej trójki kul czarnych trzeba dołączyć 2 kule białe. Zbiór zdarzeń sprzyjających będzie się zatem składał z Cl-Cl zdarzeń elementarnych, o ile cała przestrzeń tych zdarzeń wyznaczona jest przez Cf© punktów. Stąd prawdopodobieństwo, te na 5 wylosowanych kul 3 będą czarne, jest równe

P

mm

Ćfo

10 ii'

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że na 4 niezależne losowania po 5 kul zaistnieje 2 razy zdarzenie E polegające na wyciągnięciu 3 kul czarnych i 2 kul białych. Prawdopodobieństwo to obliczymy stosując wzór Itcrnoullicgo, przyjmując n*>4, yfc-2,

Mamy przeto

IP