DSCN1139 (3)

5.27. Wskazówk a. Wśród rozważanych prostokątów są takie, których wierzchołki należą do boków danego kwadratu. Suma długości boków takiego prostokąta podzielona przez 2 jest równa długości boku kwadratu.

5.28. Niech równoległobok ABCD będzie jednym z równoległoboków rozpatrywanej rodziny oraz O punktem przecięcia jego przekątnych. Bezpośrednio z założenia wynika, że AAOB ~ ABAD. a stąd

\OB\JAB\

\AB\ \BD\' więc

\AB\² = \OB\ \BD\, czyli \AB\² = ^|BL>|².

Również ABOC ~ AABC, więc

czylil BC|² = 1\AC\².

Wobec tego

1001 = 1^1-^

\AC\ = \BC\-_y/2.

Zatem punkt D należy do okręgu o środku B i promieniu długości \AB\-j2.

Wierzchołki D tworzą figurę, która jest różnicą okręgu o(B, \AB\-_s/l) i zbioru {D_l, D₂}, gdzie D_lt D₂ są punktami należącymi do prostej AB odległymi od punktu B o \AB\ ■ -Jl. Dla każdego wierzchołka D równoległoboku ABCD wierzchołek C jest obrazem D w translacji o wektor AS.

Zatem wierzchołki C tworzą figurę będącą obrazem figury o(B, |AB|-_n/2)\{D,₁ D₂} w translacji o wektor AS.

Natomiast punkty przecięcia się przekątnych tworzą figurę, która jest różnicą okręgu o/fi, \AB\ ■    i zbioru {O_x, 0₂}, gdzie 0_i,0₁

są punktami, w których okrąg AB.

o(b. \AB\4)

przecina prostą

5.29- Wskazówka. Najpierw należy wyznaczyć pole trójkąta ADE dwukrotnie; raz w zależności od pola rombu, a drugi raz w zależności od |^4Z>|, |D£| i sina (rys. 5.29). Porównując te pola otrzymujemy \DE\. Następnie korzystając z twierdzenia cosinu-sów wyznaczamy \AE\ oraz cosx.

D    E    c

3 + 2 cosa

cosx = —.

y/13 + 12 cosa 12 + 13 cosa B^COSJ,= 13 + 12 cosa'

5.30. Przyjmując oznaczenia jak na rys. 5.30, pole P czworokąta możemy wyrazić wzorem:

_{p =} Mę^ ₊ |^£| ₌ i_MCNBG|_

gdzie k\\AC. zaś G jest punktem wspólnym k i BF.

k    D    G

135