DSCF6548

6. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Wiele zależności fizycznych można wyrazić w postaci liniowej:

y = a + bx    (6.1)

bądź bezpośrednio, bądź po zastosowaniu jakiegoś prostego zabiegu zmiany skali, takiego jak logarytmowanie. Na przykład zależność ciśnienia pary nasyconej od temperatury p = p₀e~*^r (p₀, L, R są stałymi), można przedstawić w formie związku liniowego: y = a + bx, gdzie y = In p, a = ln p₀, b = — L/R. Zalety takiego postępowania są oczywiste - linię prostą potrafimy bez trudu odróżnić od każdej innej linii, łatwiej jest także wyznaczyć parametry prostej niż parametry krzywych wyższych rzędów. Najprostszy sposób wykorzystania dostępnej dzięki pomiarom informacji polega na naniesieniu wyników na arkusz papieru (w praktyce jest to coraz częściej komputerowy arkusz kalkulacyjny) i poprowadzeniu gładkiej krzywej możliwie niskiego stopnia, przechodzącej jak najbliżej punktów doświadczalnych. Taki sposób dostarcza wprawdzie wskazówek przydatnych przy dalszym opracowaniu wyników, jest jednak obarczony znaczną dowolnością. Metoda określona jednoznacznie, polega na narysowaniu krzywej tak, aby zminimalizować jej odległości do punktów pomiarowych. Jeśli pomiary zarówno wielkości x jak i y są obarczone błędami przypadkowymi, za odchylenia uważa się odległości punktów od linii. W tym wypadku określenie wartości parametrów a i b jest dość skomplikowane (por. np. [8]). Na szczęście w praktyce wartości x są zwykle ustalone stosunkowo dokładnie i można poprzestać na uwzględnieniu tylko odchyleń mierzonych wzdłuż osi y. Jeśli za „prawdziwą” wartość zmiennej zależnej odpowiadającą danemu x, uznać Y, = u + f}x_h wówczas odchylenie i-tego punktu wyniesie:

*= ^Yt = >7    0*1    (6-2)

0=1, 2, ..., n); E[Sy] = 0; E[óyJ = 0; V[SyJ = <rf (wariancja jest nieznana). Stosując metodę najmniejszych kwadratów poszukujemy takich ocen a i b nieznanych parametrów a i f5 prostej, które minimalizują ważoną sumę kwadratów odchyleń wszystkich punktów pomiarowych od tej prostej:

S= E^w.(^i)² = Iw, O-,-a

■ bxD² = min.

i=x    1 = 1

Ograniczymy się do przytoczenia najważniejszych wyników; bardziej szczegółowy opis metody można znaleźć np. w [7]. Poszukiwane oceny parametrów mają postać:

gdzie:

W=

Ew, £w,x, Ew,x, Ew,x,

W„ =

IR
w’	W
T,wtyt	Ew,x,
Ew,x^,	Ew,x?

W_h =

(6.3)

Ew,

£w,x,

,y,

Wyraźmy (6.3) w jawnej formie:

_fl(w) _ ^ŁwiX|^w_ty, - Ew,x,Ew,x,y, £w,£w,x² — (£w,x,)²

_fc(w) ZwpwpcM-Ewpflwp,

£w,Ew,x² — (Ewpc ,)²

W przypadku jednakowych wag ostatnie wyrażenia upraszczają się do postaci:

jBSBBfiH 1

₌ n£x_ly_l - Ex,Ey, E(x,-x)y, _ Efe-jgiy, nEx, — (Exj)² E(X|^^²    £x, — nx²

gdzie x i J> są ważonymi średnimi: x = Ew^Ew,, y = Ew^Ew,. Niepewności w znajomości parametrów a i b oceniamy ze związków:

V(^£w.-Xi)²£w,-Ew,x?(£w,Xj)²_ /Ewpc?

W    V W

1 V(Ew,)²Ew,x| - Ew,(Ew,x,p _ /iw,

W    I W

W przypadku prostej jednoparametrowej odpowiednie wzory są prostsze:

y = bx    (6.10)