DSC
62

98 Rozdział 4. Dynamika Jg|

4.3.2. Problem własny dynamiki

W celu udzielenia odpowiedzi na pierwsze ze sformułowanych powyżej 1 tań zasadniczych posłużymy się równaniem ruchu (4.1), w którym przyjmiemy że C I 0, P(t) = 0. Otrzymamy w ten sposób równanie ruchu układu nie-tłumionego, na który nie działają żadne obciążenia zewnętrzne

(4.5)

(4.6)

MQ(f) + KQ {t) = 0.

Sprawdzimy, czy odpowiedź o postaci Q(t) = Asin(u;f.+ <p)

jest rozwiązaniem równania (4.5). Po podstawieniu (4.6) do (4.5) otrzymamy równanie

(—w²M + K) A sin(wi -+- y?) = 0,

ktorego spełnienie tożsamościowe, tzn. w dowolnej chwili czasu t, jest równoznaczne temu, że funkcja (4.6) jest rozwiązaniem równania (4.5). Takie spełnienie równania jest możliwe tylko wtedy, gdy

(K | w²M) A = 0.    (4.7)

warunek

Macierzowe, liniowe i jednorodne równanie algebraiczne (4.7) reprezentuje algebraiczny problem własny dynamiki budowli. Równanie to ma. jak wiadomo, rozwiązania niezerowe tylko w takim przypadku, gdy spełniony jest

(4-8)

Det(K | w²M) = 0.

Po rozwinięciu wyznacznika (4.8) otrzymujemy równanie

Det(K - gjlj | (-1 ligi - Min | - - -1 H | H 10,

które ma dokładnie n dodatnich i rzeczywistych pierwiastków u>i, nazywanych częstościami (kołowymi) drgań własnych układu. Zbiór tycli częstości, uporządkowanych niemalejąco

0 < S s ^2 g • • • 1

nazywamy