DSC
64

100

Rozdział 4. Dynamik

Mnożąc lewostronnie lewą tożsamość przez A?\ prawą zaś przez A⁷'

.    ^J    1    ' Ottji.

mujemy

AjKAi I ufAjMAi,    A?KAJ | u^A^MAj,

a po uwzględnieniu symetrii macierzy K i M A?KAj = ufAfMA j = u)AjMAj.

Stąd (w? — cj|) Af MAj = 0.

Przy założeniu, że w*, m Uj, gdy i m j AjMAj = 0, gdy i ^ j,

Iskąd w zapisie macierzowym, po uwzględnieniu (4.10), mamy związek (4.11), W związku z tym, że rozwiązania A| równania jednorodnego (4.7) nie ą określone jednoznacznie (wektor własny jest wyznaczony tylko z dokładnością do jego długości), możemy je w odpowiedni sposób unormować.

Niech U* = CiA_t. Dla unormowania postaci drgań własnych zażądamy, aby zachodził związek

U[MU    (4.13)

w którym óij jest tzw. symbolem Kroneckera o własności: ójj = 1, gdy i = j; óij = 0, gdy I g j. Otrzymujemy zatem dla i — j na podstawie (4.11)

U^MU* = c? A^MAj = cfm, —> ci — 1/\JWi.

Po wprowadzeniu unormowanej macierzy modaluej U (utworzonej z unormowanych wektorów własnych)

U = (U₁,U₂,...,U„)    (4.14)

otrzymujemy zamiast (4.11) warunek ortonormalności form drgań własnych

U^tMU I i    (4.15)

Ponieważ analogicznie do (4.12) marny dzięki (4.13)

UfKUi i u?U[MUi = ||

zatem macierzowo jest

U^rKU i n²U^rMU 1    fi²-    i ₁₆J