fizyka002

Mając już ustalony w przestrzeni układ odniesienia możemy każdy punkt I* tej przestrzeni opisać jednoznacznie za pomocą trójki liczb x, y, z, będących współrzędnymi punktu P. Liczby x, y, z są współrzędnymi składowymi wektora wodzącego r = OP, zwanego też wektorem położenia.

Wektor r może być przedstawiony jako suma trzech wektorów w postaci r = ix+jy+kz, gdzie i,j, k są to wersory (wektory jednostkowa) osi Ox, Oy i Oz (rys. 1-1). Te trzy wektory ix, jy, kz, o w-artościach x, y, z i kierunkach odpowiednich osi układu współrzędnych, są nazywane wektorami składowymi lub krótko, składowymi wektora r. A więc w przyjętym przez nas kartezjańskim układzie współrzędnych prostokątnych liczby x, y, z jednoznacznie określają wektor r i w związku z tym często nazywa się je także składowymi wektora r.

Ruch ciała w przestrzeni trójwymiarowej opisujemy zazwyczaj za pomocą trzech równań: dla ruchu w kierunku osi Ox, osi Oy oraz osi Oz. W zadaniach z kinematyki często mamy do czynienia z ruchem ciał wzdłuż linii prostej. Na przykład wiele zadań z kinematyki ma następującą lub podobną treść: „Samochód jcdzic po prostej szosie...”, „pocisk wystrzelono w górę...”, „kamień spada z wysokości...”. We wszystkich tych zadaniach ruch odbywa się po prostej, zatem dla zapisania równania ruchu niepotrzebny nam jest układ odniesienia zbudowany z trzech osi współrzędnych, wystarczy tylko jedna oś, np. oś Ox.

Równanie ruchu. Jak zapisywać równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego? W najogólniejszym przypadku kinematyczne równanie ruchu jednostajnego ma postać

r=r₀ +vt    (1.1)

gdzie r jest wektorem położenia wybranego punktu rozważanego ciała w chwili /, r₀ — wektorem położenia w chwili wybranej za początkową (t = 0), a p - wektorem prędkości; z równania (1.1) wynika bowiem, że dla / = 0 mamy r = r₀.

Najwygodniej jest przyjąć kierunek jednej z osi układu odniesienia, np. osi Ox za kierunek wektora prędkości r. Wówczas składowe wektorów r, r₀, r względem osi Oy i Oz są równe zeru, i równanie ruchu możemy zapisać skalarnie w postaci

x = x₀ +uf    (1.2)

gdzie .v, x₀, v są to współrzędne (składowe) wektorów r, r₀, r względem osi Ox. Jeśli wektory r, r₀, v mają zwroty zgodne z przyjętym zwrotem osi Ox, to współrzędne .v, .v₀, v są dodatnie. Gdy któraś ze współrzędnych x, x₀, v jest ujemna, oznacza to, że odpowiedni wektor ma zwrot przeciwny do wybranego zwrotu osi Ox.

Rozwiązanie zadania wymaga ułożenia odpowiednich równań ruchu. Warto zdać sobie sprawę z różnych przypadków spotykanych w zadaniach:

1°. Te wielkości, które nie są znane (obliczamy ich wartości rozwiązując zadanie!) wygodnie jest w wyjściowych równaniach ruchu poprzedzać znakiem plus. Po rozwiązaniu zadania na symbolach ogólnych i po podstawieniu wartości liczbowych, danych w zadaniu, możemy otrzymać dla szukanej wielkości liczbę o wartości ujemnej. W przypadku wielkości wektorowej oznacza to, że odpowiedni wektor ma zwrot przeciwny niż prz.yjęt) przez nas za dodatni zwrot osi układu współrzędnych, a jeżeli szukaną wielkością jest czas (wielkość skalarna), ujemna wartość oznacza, że zdarzenie nastąpiło przed chwilą czasu, którą przyjęto za chwilę początkową (/ = 0).

2°. Wielkości znane w zadaniu są podawane bądź w postaci ogólnych symboli (np. przyspieszenie ziemskie g), bądź jako bezwzględne wartości liczbowe (np. prędkość samochodu wynosi 20 km/godz). Z treści zadania wynika także znak ich współrzędnych w przyjętym układzie współrzędnych. W tym przypadku może być wygodniejsze posługiwanie się równaniami ruchu, w których występują tylko wartości bezwzględne danych w zadaniu wielkości. W wyjściowych równaniach ruchu wielkości znane poprzedzamy wówczas znakiem plus, gdy są skierowane zgodnie, a znakiem minus, gdy są skierowane przeciwnie niż przyjęty zwrot osi układu współrzędnych. W takim przypadku postać zapisu układanego równania ruchu (znaki w równaniu) zależy od przyjętego układu współrzędnych.

Przykład. Przypuśćmy, że chcemy napisać równanie ruchu samochodu jadącego z miasta A do B po prostej drodze ze stałą prędkością, której wartość bezwzględna wynosi v. Aby napisać równanie ruchu wprowadzamy najpierw układ odniesienia. W tym celu przyjmujemy w którymś miejscu drogi, po której jedzie samochód, początek O układu odniesienia i kierujemy oś Ox wzdłuż tej drogi (rys. 1-2). Oznaczmy przez / odległość samochodu w chwili początkowej od początku układu. Różne możliwe przypadki zapisu równań ruchu ilustruje rys. 1-2. Każde z tych równań opisuje ruch samochodu, posługując się bądź inaczej skierowaną osią Ox, bądź innym położeniem początku układu (inna wartość .v₀).

9