freakpp082

162

W tym rozdziale zostanie omówiona tylko metoda różnic skończonych w zastosowaniu do zagadnień płaskich. Opiera się ona na zastąpieniu w równaniu (8.1) pochodnych cząstkowych różnicami skończonymi. Aby tego dokonać, dzieli się rozpatrywane ciało siatką prostokątną o rozmiarach Ax, Ay, rys. 8.1 (często Ax = Ay). Czas dzieli się na przedziały At, tzw. kroki czasowe. Dyskre-tyzacji podlegają również warunki brzegowe oraz początkowe. Po zastosowaniu takiej aproksymacji otrzymuje się ostatecznie szereg równań, najczęściej liniowych, które mogą być w dostatecznie łatwy sposób rozwiązane.

162

Ax

Rys. 8.1. Podział ciała siatką różnicową

Aproksymację pochodnych cząstkowych uzyskuje się, rozwijając funkcję T = T(x,y,t) w otoczeniu punktu i, j w szereg Taylora. Rozwijając funkcję najpierw w kierunku zmiennej x, otrzymuje się:

f^3T)	. (^xi+i ~^xi)^2
	* *	U^2J

^Ti+l,j,k ~^Ti,j,k +'

(^xi+l-*i)

³ (a³T^

3!

_vax³,

(8.2)

i,j,k

oraz

Ti-i,j,k ^Ti,j,k+ _v ldxj_uk ⁺

.(xi-l-Xi)³fa³T)

. dx² i. ..

^v •'lj.k

3!

v^3x3Aj,k

(8.3)

Symbol Tg ^ będzie oznaczał temperaturę w węźle o numerze i, j dla przedziału czasowego k. Dodając stronami równania (8.2) i (8.3) oraz przyjmując, że x_i+1 - Xj = Ax, Xj_j - Xj = -Ax , otrzymuje się:

^Ti + l,j,k + ^Ti-l,j,k ~^2Ti,j,k +²

(Ax)² f a V

2!

ydx

+ 2

(Ax)⁴ f aV

i,j,k

4!

_vax⁴y

+... (8.4)

i,j,k

Po uporządkowaniu wyrażenie (8.4) przyjmuje postać:

. dx²

_ ^i+l,j,k ²^i,j,k ⁺ ^i-l,j,k 2(Ax) u,k    (^)^2    4!

² W

_v3x⁴,

+...    (8.5)

i,j,k

gdzie 8_X - błąd dyskretyzacji drugiej pochodnej w kierunku zmiennej x.

W taki sam sposób można rozpisać pochodne w kierunku zmiennej y:

'aV	^Ti,j+l,k " ^2Ti,j,k + ^Ti,j-l,k 2(Ay)^2	fa^4T^	+. i,j,k
U^2J	i,,k (Ay)^2 4!	U^4J

(8.6)

gdzie 8_y - błąd dyskretyzacji drugiej pochodnej w kierunku zmiennej y.

Zapisując operator V²T w układzie współrzędnych prostokątnych, z wykorzystaniem zależności (8.5) oraz (8.6), uzyskuje się:

V T =

^Ti,j+l,k ^_2Ti,j,k ^+Ti,j-l,k

(Ax)'

(^Ay)'

+ S_xy (8.7)

gdzie 8_xy - sumaryczny błąd dyskretyzacji.

Natomiast w układzie współrzędnych cylindrycznych, rys. 8.2, operator V²T ma postać:

V^ZT =

1 + — 2i

jj^i-rlj.k ^2Ti,j,k⁺^¹ 2i

W²