freakpp084

166

która nie pozwala na dowolne dobieranie kroków czasowych i przestrzennych.

Stosując w równaniu (8.11) iloraz różnicowy wsteczny zamiast ilorazu przeć niego, unika się konieczności spełnienia warunku (8.13). Ostatecznie równanie (8.11) po zastosowaniu ilorazu różnicowego wstecznego do dyskretyzacji pochodnej temperatury względem czasu przyjmuje postać:

gdzie AFo = a(t_k- t_k_j)/( Al)² .

Stosując iloraz różnicowy przedni, otrzymuje się rozwiązanie przybliżone z dołu w stosunku do rozwiązania dokładnego, natomiast iloraz różnicowy wsteczny przybliża z góry. Aby otrzymać rozwiązanie przybliżone, oscylujące wokół wartości dokładnych, stosuje się metodę Cranka-Nicolsona (jest to tzw. metoda ilorazu różnicowego centralnego), w której pochodna temperatury względem czasu jest zdefiniowana w sposób następujący:

(8.15)

Wstawiając do równania (8.15) lewą stronę wzoru (8.11) dla kroków czasowych k, k+1, otrzymuje się:

^{+ T}i,j+l,k ^+Ti+l,j,k+l ^+Ti-l,j,k+l + ^Ti,j-l,k + l + ^Ti,j+l,k+l    (8.16)

gdzie AFo = a(t_k+, - t_k)/(Al)².

Warunkiem fizycznej poprawności rozwiązania jest:

(8.17)

--4 > 0

AFo

8.3 Warunki brzegowe

8.3.1. Warunki brzegowe I rodzaju

Rozpatrzony będzie przypadek, gdy brzeg ciała nie pokrywa się z węzłami w siatce prostokątnej tak, jak zostało to przedstawione na rys. 8.3.

Ax    aAx

Rys. 8.3. Warunek brzegowy I rodzaju na brzegu krzywoliniowym

Zakłada się, że jest znana temperatura na brzegu w punktach R i S. Temperaturę w węźle (ij) oblicza się na podstawie bilansu energii, zakreskowanego elementu, który można napisać następująco:

(8.18)

AH - Q_d - Qqd

gdzie: Q_D - strumień ciepła doprowadzonego do elementu,

Q₀d - strumień ciepła odprowadzonego,

AH - moc przyrostu entalpii elementu (moc akumulacji energii). Strumień ciepła doprowadzonego do elementu stanowi sumę mocy cieplnej dostarczonej przez przewodzenie (zgodnie z prawem Fouriera) oraz wydzielonej z wewnętrznych źródeł:

ó ₌^f^ | a^^TU-U -^Ti,j,k | jAy bAy^|Ti__Uk -T_yt ^VD \ 2    2 J Ay    V 2    2 J Ax

+ q<

Ax aAxV Ay bAy

—+ ■

2 A 2

(8.19)