Podstawy konstrukcji żelbetowych
1
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Dimostrazione
Konsekwentne sprawdzanie wiedzy drogą doświadczeń,
wytrwałości i gotowości do uczenia się na błędach.
Leonardo da Vinci
Podstawy konstrukcji żelbetowych
Materiały pomocnicze do zajęć z  Konstrukcji betonowych 1 i  Konstrukcji żelbetowych
dla studentów studiów dziennych (stacjonarnych) i zaocznych (niestacjonarnych)
Drogi Czytelniku,
Przekazuję w Twoje ręce materiały pomocnicze obejmujące swoim zakresem podstawowe wiadomości na temat:
- właściwości mechanicznych betonu i stali, oraz ich współpracy,
- teorii żelbetu,
- projektowania zginanych, ściskanych i rozciąganych przekrojów żelbetowych,
- projektowania stref przypodporowych belek żelbetowych,
- stanów granicznych użytkowalności.
Oprócz podstawowych wiadomości teoretycznych zamieściłam w nich także przykłady obliczeniowe, które mam nadzieję
pomogą Ci wdrożyć się w trudną sztukę projektowania bezpiecznych konstrukcji żelbetowych. Materiały dostosowane
są do postanowień aktualnej normy PN - B - 03264 : 2002 .
Pomimo moich starań na pewno znajdziesz Czytelniku w nich niejasności, niedopatrzenia, błędy czy braki potrzebnego
materiału do zrozumienia pracy przekroju żelbetowego. Pragnę z góry Cię przeprosić za te usterki i będę wdzięczna za
wszystkie uwagi na ten temat przesłane na adres [e-mail] . Pozwoli mi to w przyszłości ulepszyć materiały.
Z wdzięcznością przyjmę także wszelkie sugestie co Twoim zdaniem byłoby pomocne w nauce projektowania konstrukcji
żelbetowych.
Maria Włodarczyk
PRZYKA
ADY ROZWI
ZANIA BELEK ŻELBETOWYCH
PRZYKA
AD 1
Zaprojektować belkę żelbetową mając dane: obciążenie zmienne p = 25 kN/m , rozpiętość obliczeniowa
przęsła belki leff = 6.0 m , wysięg wspornika leff ,1 = 1.5 m , szerokość podpory, na której opiera się belka
t = 0.30 m ; wymiary przekroju poprzecznego: beff = 0.5 m , hf = 0.05 m , bw = 0.25 m , h = 0.50 m .
Założono beton klasy C20/25 i stal klasy AIII (34GS). Ciężar objętościowy żelbetu przyjęto
ł = 25 kN/m3 . Dopuszczalna szerokość rysy wlim = 0.30 mm .
żelb.
beff
hf
h
1350 300 1350
5700 300
bw
1500 6000 1500
500
450
50
Podstawy konstrukcji żelbetowych
2
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Schemat statyczny belki
qSd
leff,1 leff leff,1
Wyznaczenie wielkości obciążenia
Obciążenie stałe:
wartość charakterystyczna
g = Acł = [(h - hf ) bw + hf beff ] ł = [(0.5 - 0.05)�"0.25 + 0.5�"0.05]�" 25 = 3.44 kN m
żelb żelb
wartość doliczeniowa (wartość współczynnika dla obciążenia ciężarem własnym ł = 1.1)
f
gSd = gł = 3.44�"1.1 = 3.78kN m
f
Obciążenie zmienne:
wartość charakterystyczna
p = 25 kN/m
wartość obliczeniowa (wartość współczynnika dla obciążenia zmiennego w rozpatrywanym przypadku
wynosi ł = 1.2 ):
f
pSd = pł = 25�"1.2 = 30 kN/m
f
Obciążenie całkowite:
wartość charakterystyczna
q = g + p = 3.44 + 25 = 28.44 kN/m
wartość obliczeniowa
qSd = gSd + pSd = 3.78 + 30 = 33.78 kN/m
Obwiednia momentów i sił tnących
Obwiednię momentów i sił tnących sporządzamy wykorzystując zasadę superpozycji. W celu wyznaczania
ekstremalnych wartości momentów i sił poprzecznych wybieramy najbardziej niekorzystne schematy
obciążenia belki.
Wykresy momentów i sił tnących
Schemat 1 (od ciężaru własnego) Schemat 2 (maksymalny moment przęsłowy)
3.78 kN/m 30.0 kN/m
1.5 m 6.0 m 1.5 m
1.5 m 6.0 m 1.5 m
4.25
4.25
MSd [kNm] MSd [kNm]
12.76 135.0
VSd [kN] VSd [kN]
11.34 90
5.67
3.0 m 3.0 m
11.34 90
5.67
Podstawy konstrukcji żelbetowych
3
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Schemat 3 (minimalny moment przęsłowy) Schemat 4 (maksymalny moment podporowy)
30.0 kN/m
30 kN/m
1.5 m 6.0 m 1.5 m
33.75
1.5 m 6.0 m 1.5m
33.75 MSd [kNm]
MSd [kNm]
118.14
118.67
VSd [kN] 45.0
VSd [kN]
95.63
45.0
3.0 m
84.38
45.0
3.19 m
Schemat 5 (minimalny moment podporowy)
30.0 kN/m
1.5 m 6.0 m 1.5 m
16.89 33.75
MSd [kNm]
3.0 m
45.0
VSd [kN]
5.63
Obwiednia momentów zginających Obwiednia sił tnących
MSd [kNm]
VSd [kN]
38.0
38.0
106.96
21.0
4.25
4.25
50.67
5.71
5.67
5.67
5.71
50.67
147.76
106.99
Dane materiałowe
Beton C20/25 fcd = 13.3 MPa , fck = 20 MPa , fctd = 1.0 MPa , fctm = 2.2 MPa , Ecm = 30 GPa
Stal AIII (34GS) f = 350 MPa , f = 410 MPa , �eff ,lim = 0.53 , Es = 200 GPa
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m  odległość środka ciężkości zbrojenia rozciąganego od skrajnych włókien
rozciąganych
d = h - a1 = 0.50 - 0.05 = 0.45 m
Minimalne pole przekroju zbrojenia rozciąganego
Dla przekrojów teowych minimalne pole przekroju zbrojenia rozciąganego wyznaczamy w stosunku do
szerokości środnika ( bw ).
Podstawy konstrukcji żelbetowych
4
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
ńł
0.0013bwd = 0.0013�"0.25�"0.45 = 1.46�"10-4 m2
�ł
As1,min =
2.2
�ł0.26 fctm bwd = 0.26�" �"0.25�"0.45 = 1.57 �"10-4 m2
�ł
f 410
yk
ół
Wymiarowanie ze względu na zginanie
Wymiarowanie na maksymalny moment przęsłowy: M = 147.76 kNm
Sd
Półka znajduje się w strefie ściskanej przekroju, należy więc sprawdzić
beff
jednostronny wysięg półki, którego wartości maksymalne są ograniczone przez
hf
przepisy normowe ( PN - B - 03264 : 2002 ).
beff1
beff2
h
Sprawdzenie jednostronnego wysięgu półki:
MSd beff - bw 0.50 - 0.25
beff 1 = beff 2 = = = 0.125 m d" 6hf = 6�"0.05 = 0.30 m
bw
2 2
Uwaga: W przypadku wymiarowania belek zginających o przekrojach teowych można się ograniczyć do
sprawdzenia warunku beff 1 lub beff 2 d" 6hf .
beff
fcd
xeff hf
beff xeff fcd
d
h d -0.5xeff
MSd As1 a1
As1 fyd
bw
Zakładamy xeff d" hf
M 147.76
Sd
scc = = = 0.110 �eff = 0.117
2
beff d fcd 0.50�"0.452 �"13.3�"103
xeff = �eff d = 0.117 �"0.45 = 0.053 m > hf = 0.05 m , występuje przypadek przekroju  rzeczywiście teowego
Schemat 1 Schemat 2
beff beff
beff
fcd
fcd (beff -bw)hf fcd fcd
hf
hf hf
Acc,eff fcd bw xeff fcd
xeff
xeff
h
d d
d
h
h
As1
MSd MSd1 As1.1
MSd2 As1.2 a1
a1 a1
As1.1 fyd
As1 fyd As1.2 fyd
bw
bw bw
Rozpatrujemy schemat 1:
M = (beff - bw) hf fcd(d - 0.5hf )= (0.5 - 0.25)�"0.05�"13.3�"103 �"(0.45 - 0.5�"0.05)= 70.66 kNm
sd1
Z
"sił = 0 wyznaczamy pole powierzchni zbrojenia rozciąganego As1.1 :
(beff - bw) hf fcd - 0.25)�"0.05�"13.3�"103
(0.5
As1.1 = = = 4.75�"10-4 m2
f 350 �"103
yd
Rozpatrujemy schemat 2:
M = M - M = 147.76 - 70.66 = 77.10 kNm
sd 2 sd Sd1
f
ff
e
c
z
d -
0.5
h
d -
0.5
x
Podstawy konstrukcji żelbetowych
5
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
M 77.10
Sd 2
scc = = = 0.115 �eff = 0.122 < �eff ,lim = 0.53
2
bwd fcd 0.25�"0.452 �"13.3�"103
ś = 0.939
eff
M 77.10
sd 2
As1.2 = = = 5.21�"10-4 m2
ś df 0.939�"0.45�"350�"103
eff yd
As1 = As1.1 + As1.2 = 4.75�"10-4 + 5.21�"10-4 = 9.96�"10-4 m2 > As1,min
Wymiarowanie na minimalny moment przęsłowy: M = 21 kNm
Sd min
beff
As1 fyd
a1
As1 hf
d
d -0.5xeff
h
MSd
xeff
bw xeff fcd
bw
fcd
p
W przypadku gdy obciążenia zmienne przekraczają znacznie obciążenia stałe ( e" 2 ) w przęśle
g
w niekorzystnej sytuacji obliczeniowej mogą wystąpić ujemne momenty zginające ( M ). W takiej
Sd min
sytuacji wyznaczamy na długości belki uśrednioną wartość momentu zginającego:
1
M = (M + M )e" M
Sdm Sd max, pod. Sd min, prz. Sd min, prz.
3
gdzie: M  maksymalna wartość momentu przyległej do przęsła podpory,
Sd max, pod.
M  minimalna wartość momentu przęsłowego wynikająca z kombinacji obciążeń.
Sd min, prz.
1 1
M = (M + M )= �"(38 + 21)= 19.61 kNm < M = 21 kNm
Sdm Sd max, pod. Sd min, prz. Sd min, prz.
3 3
Ponieważ M < M do dalszych obliczeń przyjęto:
Sdm Sd min, prz.
M = M = 21 kNm
Sd Sd min, prz.
M 21
Sd
scc = = = 0.031 �eff = 0.032 < �eff ,lim = 0.53
2
bwd fcd 0.25�"0.452 �"13.3�"103
ś = 0.984
eff
M 21
sd
As1 = = = 1.35�"10-4 m2 < As1,min
ś df
0.984�"0.45�"350�"103
eff yd
Należy przyjąć As1.1 = As1,min
Podstawy konstrukcji żelbetowych
6
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Wymiarowanie na maksymalny moment podporowy: M = 38 kNm
sd
beff
As1 fyd
a1
As1 hf
d
d -0.5xeff
h
MSd
xeff
bw xeff fcd
bw
fcd
M 38
Sd
scc = = = 0.056 �eff = 0.058 < �eff ,lim = 0.53
2
bwd fcd 0.25�"0.452 �"13.3�"103
ś = 0.971
eff
M 38
sd
As1 = = = 2.48�"10-4 m2 > As1,min
ś df
0.971�"0.45�"350�"103
eff yd
Dobór zbrojenia ze względu na zginanie
As1 [cm2 ]  zbrojenie obliczone As1, prov [cm2 ]  zbrojenie przyjęte
Przęsło
Moment max 9.96 4#18 10.18
Moment min 1.57 2#12 2.26
Podpora 2.48 3#12 3.39
Wymiarowanie na ścinanie
Zgodnie z zaleceniami PN - B - 03264 : 2002 jeżeli zachodzi bezpośrednie przekazywanie obciążenia belki
na podporę tzn., jeżeli reakcja podpory działa na dolną krawędz
elementu, a obciążenie równomierne
rozłożone działa na krawędz
górną, to przy sprawdzaniu warunków VSd d" VRd1 i VSd d" VRd 3 na odcinku
przypodporowym za VSd można przyjąć największą co do wartości bezwzględnej siłę poprzeczną
występująca w odległości d od krawędzi podpory.
W innych przypadkach za VSd należy przyjmować największą, co do wartości bezwzględnej, obliczeniową
siłę poprzeczną na rozpatrywanym odcinku.
Uwaga: Jeżeli przy sprawdzaniu warunków VSd d" VRd1 i VSd d" VRd 3 na rozpatrywanym odcinku
przypodporowym wez
miemy maksymalną, co do wartości bezwzględnej, siłę wyznaczoną w miejscu
teoretycznego punktu podparcia, lub na krawędzi podpory, nie popełnimy większego błędu bo będziemy po
stronie bezpiecznej.
Podpora A z lewej strony i B z prawej strony:
L P
Maksymalna wielkość siły VSdAmax = VSdB max = 59.67 kN
106.96 kN
101.89 kN
Wielkość siły na krawędzi podpory:
L L
VSdAk = VSdAmax - 0.5tqSd = 56.67 - 0.5�"0.30�"33.78 = 51.60 kN
gdzie: t  szerokość podpory
0.3 m
L P
51.60 kN VSdk = VSdAk = VSdBk  oznaczenie
56.67 kN
Podstawy konstrukcji żelbetowych
7
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Siła poprzeczna w odległości d od krawędzi podpory
d
VSd = VSdk - dqSd = 56.67 - 0.45�"33.78 = 36.40 kN
k = 1.6 - d = 1.6 - 0.45 = 1.15 > 1.0
AsL 3.39�"10-4
�L = = = 0.003 < 0.01
bwd 0.25�"0.45
� = 0 (nie występują podłużne siły ściskające)
cp
d
VSd = 36.40 kN < VRd1 = [0.35k fctd (1.2 + 40�L)+ 0.15�cp] bwd =
= [0.35 �"1.15 �"1.0 �"103 �"(1.2 + 40 �" 0.003)]�" 0.25 �" 0.45 = 59.77 kN
fck
�ł �ł 20
�ł
� = 0.6 1- �ł �ł �ł
= 0.6�"�ł1- = 0.55
�ł
250 250
�ł łł �ł łł
z = 0.9d = 0.9�"0.45 = 0.405 m
VSdk = 51.60 kN < VRd 2 = 0.5� fcdbwz = 0.5�"0.55�"13.3�"103 �"0.25�"0.405 = 370.32 kN
Występuje odcinek I rodzaju, czyli nie ma konieczności stosowania zbrojenia na ścinanie. Na tym odcinku
stosujemy średnicę i rozstaw strzemion z warunków konstrukcyjnych ( PN - B - 03264 : 2002 ).
Średnica strzemion
0.2Ć = 0.2�"18 = 3.6 mm
ńł
Ćw e"
�ł
ół4.5 mm
Rozstaw strzemion w kierunku podłużnym
0.75d = 0.75�"0.45 = 0.3375 m
ńł
s1 d"
�ł
ół0.4 m
Rozstaw strzemion w kierunku poprzecznym
d = 0.45 m
ńł
s1 d"
�ł
ół0.6 m
P L
Podpora A z prawej strony i B z lewej strony: VSdAmax = VSdB max = 106.96 kN
Wielkość siły na krawędzi podpory
P P
VSdAk = VSdAmax - 0.5tqSd = 106.96 - 0.5�"0.3�"33.78 = 101.89 kN
P L
VSdk = VSdAk = VSdBk
Siła poprzeczna w odległości d od krawędzi podpory
d
VSd = VSdk - dqSd = 101.89 - 0.45�"33.78 = 86.70 kN
d
VSd = 86.74 kN > VRd1 = 59.77 kN
VSdk = 101.89 kN < VRd 2 = 370.32 kN
Występuje odcinek II rodzaju.
Długość odcinka, na którym należy zastosować zagęszczony rozstaw strzemion:
VSdk -VRd1 101.89 - 59.77
aw2 = = = 1.25 m
qSd 33.78
Podstawy konstrukcji żelbetowych
8
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Jako zbrojenie na ścinanie przyjęto strzemiona czteroramienne Ć 6 stali AI(St3S), dla której
f = 210 MPa , f = 240 MPa .
ywd1 yk
Pole powierzchni strzemion wyznaczamy z zależności:
2
ĄĆw Ą �"0.62
Asw1 = n = 4�" = 1.13 cm2 ,
4 4
gdzie: n  liczba ramion strzemion,
Ćw  średnica pręta zbrojeniowego, z którego wykonano strzemię,
lub odczytać z tablic, w których są zestawione pola powierzchni prętów zbrojeniowych.
Przyjęto cot� = 1.0
Rozstaw strzemion
Asw1 f
1.13�"10-4 �" 210�"103
ywd1
s1 = z cot� = �"0.405�"1.0 = 0.1108 m
d
VSd 86.74
Przyjęto rozstaw strzemion s1 = 0.11 m
Sprawdzenie minimalnej ilości zbrojenia przyjętego na ścinanie:
0.08 fck 0.08�" 20
Asw1 1.13�"10-4
�w1 = = = 0.004 >� = = = 0.001
w,min
s1bw 0.11�"0.25 f 240
yk
Sprawdzenie nośności ściskanego krzyżulca betonowego ze względu na zmiażdżenie:
cot� 1
k
VSd = 101.89 kN < VRd 2 =� fcdbwz = 0.55�"13.3�"103 �"0.25�"0.405�" = 370.32 kN
1+ cot2 � 1+12
Sprawdzenie nośności rozciąganego zbrojenia podłużnego
Wielkość momentu odczytana w odległości d od krawędzi podpory: M = 33.29 kNm
Sd
M M
33.29
Sd Sd
Ftd = + "Ftd = + 0.5VSd cot� = + 0.5�"86.74�"1.0 = 125.57 kN >
z z 0.405
> Fs = As f = 3.39�"10-4 �"350�"103 = 118.65 kN
yd
Należy dozbroić strefę przypodporową
"Fs = 125.57 -118.65 = 6.92 kN
"Fs 6.92
"As = = = 0.97 �"10-4 m2
f
350�"103
yd
Dodatkowo zastosowano 1 pręt Ć 12
Ftd = 125.57 kN < Fs = (3.39 +1.13)�"10-4 �"350�"103 = 158.20 kN
Sprawdzenie dopuszczalnej szerokości rys ukośnych
VSd 86.74
� = = = 771.02 kPa
bwd 0.25�"0.45
1 1
 = = = 500 mm
�w1 0.004
3 3�"
�1Ć1 1.0�"6
Podstawy konstrukcji żelbetowych
9
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
2
4�  4�"771.022 �"500
wk = = = 0.07 mm < wlim = 0.3 mm
�wE fck 0.004�" 200�"106 �" 20�"103
s
Rozstaw strzemion na środkowym odcinku belki (poza odcinkami gdzie obliczano potrzebną ilość zbrojenia
na ścinanie).
Rozstaw strzemion w kierunku podłużnym:
0.75d = 0.75�"0.45 = 0.3375 m
ńł
s1 d"
�ł0.4 m
ół
Rozstaw strzemion w kierunku poprzecznym:
d = 0.45 m
ńł
s1 d"
�ł0.6 m
ół
Długość zakotwienia prętów zbrojeniowych
Beton C20/25, pręty żebrowane (Ć d" 32 mm ): fbd = 2.3 MPa  tab.24, PN - B - 03264 : 2002
Dla średnicy Ć 18
Podstawowa długość zakotwienia
f
Ć 18 350
yd
lb = = �" = 684.79 mm
4 fbd 4 2.3
Minimalna długość zakotwienia
0.3lb = 0.3�"684.79 = 205.44 mm
ńł
�ł10Ć
lb min = = 10�"18 = 180 mm
�ł
�ł100 mm
ół
Długość zakotwienia
As,req
9.96
lbd = ąalb = 1.0�"684.79�" = 669.98 mm e" lb min
As, prov 10.18
Przyjęto długość zakotwienia lbd = 670 mm
Dla średnicy Ć 12
Podstawowa długość zakotwienia
f
Ć 12 350
yd
lb = = �" = 456.52 mm
4 fbd 4 2.3
Minimalna długość zakotwienia
0.3lb = 0.3�" 456.52 = 136.96 mm
ńł
�ł
lb min = 10Ć = 10�"12 = 120 mm
�ł
�ł
100 mm
ół
Długość zakotwienia
As,req
2.48
lbd = ąalb = 1.0�" 456.52�" = 333.97 mm e" lb min
As, prov 3.39
Przyjęto długość zakotwienia lbd = 340 mm
Podstawy konstrukcji żelbetowych
10
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Podstawy konstrukcji żelbetowych
11
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Podstawy konstrukcji żelbetowych
12
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Podstawy konstrukcji żelbetowych
13
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Sprawdzenie stanów granicznych użytkowalności
Wykres momentów od obciążeń charakterystycznych
Schemat 1 (od ciężaru własnego) Schemat 2 (od obciążenia zmiennego)
3.44 kN/m 25.0 kN/m
1.50 6.00 1.50 1.50 6.00 1.50
3.87
3.87
MSd [kNm] MSd [kNm]
11.61 112.50
Wykres momentów od obciążenia stałego i zmiennego
MSd [kNm]
3.87
3.87
124.11
Dane dla rozpatrywanego przekroju
2 # 12
500 2 Ć 8
Ć 1.8
a1,rzecz = c +Ćw + = 2 + 0.6 + = 3.50 cm
2 2
Ć 1.2
20
a2,rzecz = c +Ćw + = 2 + 0.6 + = 3.20 cm
2 2
Ć 6
drzecz = 50 - 3.50 = 46.50 cm
4 # 18 As1, prov = 10.18 cm2
250
As2, prov = 3.39 cm2
Szerokość rys prostopadłych do osi elementu
Y0
0.5
0.05
X0
y0 0.45 0.50
X
0.25
SX 0.25�"0.45�"0.5�"0.45 + 0.50�"0.05�"(0.45 + 0.5�"0.05)
y0 = = = 0.2705 m
Ac 0.25�"0.45 + 0.50�"0.05
50
500
Podstawy konstrukcji żelbetowych
14
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
0.25�"0.453 0.50�"0.053
2 2
I0 = + 0.25�"0.45�"(0.2705 - 0.2250) + + 0.50�"0.05�"(0.45 - 0.2705 + 0.5�"0.05) =
12 12
= 3.182�"10-3 m4
I0 3.182�"10-3
Wc = = = 0.01176 m3
y0 0.2705
Sprawdzenie czy zachodzi konieczność obliczania szerokości rys
M = 124.11 kNm > M = fctmWc = 2.2�"103 �"0.01176 = 25.88 kNm  przekrój jest przekrojem
Sd cr
zarysowanym
� = 1.3 , przy zarysowaniu wywołanym przez opór stawiany odkształceniom wymuszonym w przekrojach,
w których najmniejszy wymiar nie przekracza 300 mm
xII = -A + A2 + C
Es 200
ąe = = = 6.67
Ecm 30
(beff - bw) hf +ąe(As1 + As2 )
(0.50 - 0.25)�"0.05 + 6.67 �"(10.18 + 2.26)�"10-4
A = = = 0.0832 m
bw 0.25
(beff - bw) h2 + 2ąe(As1d + As2a2)
f
C = =
bw
(0.50 - 0.25)�"0.052 + 2�"6.67 �"(10.18�"10-4 �"0.464 + 2.26�"10-4 �"0.032)
= = 0.0281 m2
0.25
xII = -A + A2 + C = -0.0832 + 0.08322 + 0.0281 = 0.1039 m
2.5a1 = 2.5�"0.035 = 0.0875 m
ńł
�ł
� = min =
�łh - xII 0.50 - 0.1039
= = 0.1320 m
� �ł
ół 3 3
4 # 18
Act,eff = 0.25�"0.0875 = 0.0219 m2
As 10.18�"10-4
�r = = = 0.05
Act,eff 0.0219
k1 = 0.8  pręty żebrowane
k2 = 0.5  zginanie
Ć 18
srm = 50 + 0.25k1k2 = 50 + 0.25�"0.8�"0.5�" = 86 mm
�r 0.05
2
�ł łł
�ł �ł
� �
s
�ł �ł �ł śł
� = 1- �1�2 sr
sm
�ł
Es �ł �ł �
�ł śł
�ł s łł
�ł
xII 0.1039
z = d - = 0.465 - = 0.4304 m , ramię sił wewnętrznych w przekroju przez rysę
3 3
M 124.11
Sd
� = = = 283260.97 kPa
s
zAs1 0.4304�"10.18�"10-4
�1 = 1.0  pręty żebrowane
�2 = 0.5  przy obciążeniu długotrwałym lub wielokrotnie zmiennym
Podstawy konstrukcji żelbetowych
15
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
� M
sr cr
=  przy zginaniu
� M
s Sd
2
2
�ł łł
�ł łł
�ł �ł
� M 283260.97 25.88
s
�ł �ł �ł śł
� = 1- �1�2�ł sr �ł = �" 1-1.0�"0.5�"�ł �ł = 1.3855�"10-3
�ł �ł �ł śł
sm
Es �ł �ł M
�ł śł 200�"106 �ł
�ł124.11łł
Sd łł śł
�ł �ł
�ł
wk = � srm� = 1.3�"86�"1.3855�"10-3 = 0.119 mm < wlim = 0.3 mm
sm
Stan graniczny ugięcia
a = a0,k +d - a0,d + a",d
Wyznaczenie ugięcia powstałego natychmiast po jednoczesnym przyłożeniu obciążenia krótko  i
długotrwałego:
2
M leff
a0,k +d = ąk Sd
B0
5
ąk =  belka swobodnie podparta równomiernie obciążona
48
M = 124.11 kNm > M = 25.88 kNm
Sd cr
Sztywność elementu zarysowanego
EcmIII
B0 =
2
�ł �ł �ł �ł
� III
�ł �ł �ł
1- �1�2�ł sr �ł �ł1- �ł
� II �ł
�ł s łł �ł łł
xII = 0.1039 m > hf = 0.05 m
beff
a2
As2 hf
xII
d
h
As1
a1
bw
3
3
beff xII -(beff - bw) (xII - hf )
2 2
III = +ąe As1(d - xII ) +ąe As2(xII - a2) =
3
3
0.50�"0.10393 -(0.50 - 0.25)�"(0.1039 - 0.05)
2
= + 6.67 �"10.18�"10-4 �"(0.465 - 0.1039) +
3
2
+ 6.67 �" 2.26�"10-4 �"(0.1039 - 0.032) = 1.0932�"10-3 m4
Położenie osi obojętnej w fazie Ia
(beff f
bwh2 - bw) h2
+ +ąe As2a2 +ąe As1d
2 2
xI = =
bwh +(beff - bw) hf +ąe(As1 + As2)
Podstawy konstrukcji żelbetowych
16
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
0.25�"0.502 (0.50 - 0.25)�"0.052
+ + 6.67 �" 2.26�"10-4 �"0.032 + 6.67 �"10.18�"10-4 �"0.465
2 2
= = 0.2385 m
0.25�"0.50 + (0.50 - 0.25)�"0.05 + 6.67 �"(10.18 + 2.26)�"10-4
3
3
3
beff xI (beff - bw) (xI - hf )
bw(h - xI )
2 2
II = - + +ąe As2(xI - a2) +ąe As1(d - xI ) =
3 3 3
3 3
0.50�"0.23853 (0.50 - 0.25)�"(0.2385 - 0.05) 0.25�"(0.50 - 0.2385)
2
= - + + 6.67 �" 2.26�"10-4 �"(0.2385 - 0.032) +
3 3 3
2
+ 6.67 �"10.18�"10-4 �"(0.465 - 0.2385) = 3.6057 �"10-3 m4
�1 = 1.0  pręty żebrowane
�2 = 1.0  obciążenie działające krótkotrwale
� M
sr cr
=  przy zginaniu
� M
s Sd
EcmIII 30�"106 �"1.0932�"10-3
B0 = = = 33820.74 kPa
2 2
�ł
�ł �ł �ł �ł �ł
M III 1-1.0�"1.0�"�ł 25.88 �ł �"�ł1- 1.0932�"10-3 �ł
�ł �ł
�ł �ł �ł
1- �1�2�ł cr �ł �ł1- �ł �ł
3.6057 �"10-3 �ł
M II �ł �ł124.11łł
�ł łł
�ł Sd łł �ł łł
2
M leff 5 124.11�"62
a0,k +d = ąk Sd = �" = 0.0137 m
B0 48 33820.74
Wyznaczenie ugięcia powstałego natychmiast po przyłożeniu obciążenia długotrwałego:
2
M leff
a0,d = ąk Sd
B0
M = 11.61 kNm < M = 25.88 kNm  przekrój niezarysowany
Sd cr
B0 = EcmII = 30�"106 �"3.6057 �"10-3 = 108171 kPa
2
M leff 5 11.61�"62
a0,d = ąk Sd = �" = 0.0004 m
B0 48 108171
Wyznaczenie ugięcia długotrwałego wywołanego obciążeniem długotrwałym
2
M leff
a0," = ąk Sd
B"
M = 11.61 kNm < M = 25.88 kNm  przekrój niezarysowany
Sd cr
Naprężenie w betonie
fcm = fck + 8 = 20 + 8 = 28 MPa
M xI 11.61�"0.2385
Sd
� = = = 767.95 kPa = 0.768 MPa < 0.45 fcm = 0.45�" 28 = 12.60 MPa
c
II 3.6057 �"10-3
Wiek betonu 28 dni, element wewnątrz budynku RH = 50%
2Ac 2�"(500�"50 + 450�" 250)
h0 = = = 157.14 mm
u (500 + 2�"50 + 2�" 450 + 250)
2.5 - 3.0
Ć(",t0) = �"(157.14 -150)+ 3.0 = 2.99
600 -150
Podstawy konstrukcji żelbetowych
17
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Ecm 30
Ec,eff = = = 7.52 GPa
1+Ć(",t0) 1+ 2.99
Es 200
ąet = = = 26.6
Ec,eff 7.52
(beff f
bwh2 - bw) h2
+ +ąet As2a2 +ąet As1d
2 2
xI = =
bwh +(beff - bw)hf +ąet(As1 + As2)
0.25�"0.502 (0.50 - 0.25)�"0.052
+ + 26.6�" 2.26�"10-4 �"0.032 + 26.6�"10.18�"10-4 �"0.465
2 2
= = 0.2797 m
0.25�"0.50 + (0.50 - 0.25)�"0.05 + 26.6�"(10.18 + 2.26)�"10-4
3
3
3
beff xI (beff - bw) (xI - hf )
bw(h - xI )
2 2
II = - + +ąet As2(xI - a2) +ąet As1(d - xI ) =
3 3 3
3 3
0.50�"0.27973 (0.50 - 0.25)�"(0.2797 - 0.05) 0.25�"(0.50 - 0.2797)
2
= - + + 26.6�" 2.26�"10-4 �"(0.2797 - 0.032) +
3 3 3
2
+ 26.6�"10.18�"10-4 �"(0.465 - 0.2797) = 4.8266�"10-3 m4
B" = Ec,eff IIt = 7.52�"106 �" 4.8266�"10-3 = 36295.71 kPa
2
M leff 5 11.61�"62
a0,d = ąk Sd = �" = 0.0012 m
B0 48 36295.71
leff
a = a0,k +d - a0,d + a",d = 0.0137 - 0.0004 + 0.0012 = 0.0145 m = 14.5 mm < alim = = 0.03 m = 30 mm
200
(tab. 8, PN - B - 03264 : 2002 )
Określenie nośności ze względu na zginanie
Nośność sprawdzamy w każdym miejscu gdzie zmienia się zbrojenie. Dla każdego przekroju liczymy
nośność traktując raz włókna dolne jako rozciągane, a raz włókna górne.
Przekrój 1 - 1
Odległość środka ciężkości zbrojenia górnego od włókien skrajnych
4 # 12
500 2 Ć 8
Ć 1.2
a2 = cmin +Ćw + = 2.0 + 0.6 + = 3.20 cm
2 2
20
Pole powierzchni zbrojenia górnego: As2 = 4.52 cm2
Ć 6
Odległość środka ciężkości zbrojenia dolnego od włókien skrajnych
2 # 18
Ć 1.8
a1 = cmin +Ćw + = 2.0 + 0.6 + = 3.50 cm
250
2 2
Pole powierzchni zbrojenia dolnego: As1 = 5.09 cm2
+
Rozciągane włókna dolne: M
Rd
d = h - a1 = 0.50 - 0.035 = 0.465 m
50
500
Podstawy konstrukcji żelbetowych
18
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Zakładamy: xeff < hf
beff
fcd
xeff hf
Fc =beff xeff fcd
zc =d -0.5xeff
d
h
MRd As1 a1
Fs1=As1 fyd
bw
sił = 0
"
As1 f - As2 f
5.09�"10-4 �"350�"103 - 4.52�"10-4 �"350�"103
yd yd
xeff = = = 0.003 m < hf = 0.05 m
beff fcd
0.50�"13.3�"103
xeff = 0.003 m < 2a2 = 2�"0.032 = 0.064 m , pomijamy pracę betonu ściskanego
M (As2) = 0
"
+
M = As1 f (d - a2)= 5.09�"10-4 �"350�"103 �"(0.465 - 0.032) = 77.14 kNm
Rd yd
-
Rozciągane włókna górne: M
Rd
d = h - a1 = 0.50 - 0.032 = 0.468 m
beff
As1 fyd
a1
As1 hf
d
h
MRd bw xeff fcd
a2 xeff
As2 fyd
bw
fcd
"sił = 0
As1 f - As2 f
4.52�"10-4 �"350�"103 - 5.09�"10-4 �"350�"103
yd yd
xeff = = = -0.006 m < 2a2 = 2�"0.035 = 0.070 m ,
bw fcd 0.25�"13.3�"103
pomijamy pracę betonu ściskanego
M (As2) = 0
"
-
M = As1 f (d - a2 )= 4.52�"10-4 �"350�"103 �"(0.468 - 0.035) = 68.50 kNm
Rd yd
Przekrój 2-2
4 # 12
2 Ć 8
500
Pole powierzchni zbrojenia górnego: As2 = 4.52 cm2
20 Pole powierzchni zbrojenia dolnego: As1 = 10.18 cm2
Ć 6
4 # 18
250
+
Rozciągane włókna dolne: M
Rd
d = h - a1 = 0.50 - 0.035 = 0.465 m
2
eff
d  a
d -
0.5
x
50
500
Podstawy konstrukcji żelbetowych
19
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Zakładamy: xeff < hf
"sił = 0
As1 f - As2 f
10.18�"10-4 �"350�"103 - 4.52�"10-4 �"350�"103
yd yd
xeff = = = 0.02979 m < hf = 0.05 m
beff fcd 0.50�"13.3�"103
xeff = 0.02979 m < 2a2 = 2�"0.032 = 0.064 m , pomijamy pracę betonu ściskanego
M (As2) = 0
"
+
M = As1 f (d - a2)= 10.18�"10-4 �"350�"103 �"(0.465 - 0.032) = 154.28 kNm
Rd yd
-
Rozciągane włókna górne: M
Rd
d = h - a1 = 0.50 - 0.032 = 0.468 m
"sił = 0
As1 f - As2 f
4.52�"10-4 �"350�"103 -10.18�"10-4 �"350�"103
yd yd
xeff = = = -0.060 m < 2a2 = 2�"0.035 = 0.070 m ,
bw fcd 0.25�"13.3�"103
pomijamy pracę betonu ściskanego
M (As2) = 0
"
-
M = As1 f (d - a2 )= 4.52�"10-4 �"350�"103 �"(0.468 - 0.035) = 68.50 kNm
Rd yd
Przekrój 3-3
2 # 12
500 2 Ć 8
Pole powierzchni zbrojenia górnego: As2 = 2.26 cm2
20
Pole powierzchni zbrojenia dolnego: As1 = 10.18 cm2
Ć 6
4 # 18
250
+
Rozciągane włókna dolne: M
Rd
d = h - a1 = 0.50 - 0.035 = 0.465 m
Zakładamy: xeff < hf
"sił = 0
As1 f - As2 f
10.18�"10-4 �"350 �"103 - 2.26�"10-4 �"350�"103
yd yd
xeff = = = 0.042 m < hf = 0.05 m ,
beff fcd 0.50�"13.3�"103
xeff = 0.042 m < 2a2 = 2�"0.032 = 0.064 m , pomijamy pracę betonu ściskanego
M (As2) = 0
"
+
M = As1 f (d - a2)= 10.18�"10-4 �"350�"103 �"(0.465 - 0.032) = 154.28 kNm
Rd yd
-
Rozciągane włókna górne: M
Rd
d = h - a1 = 0.50 - 0.032 = 0.468 m
50
500
Podstawy konstrukcji żelbetowych
20
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
"sił = 0
As1 f - As2 f
2.26�"10-4 �"350�"103 -10.18�"10-4 �"350�"103
yd yd
xeff = = = -0.0833 m < 2a2 = 2�"0.035 = 0.070 m
bw fcd 0.25�"13.3�"103
pomijamy pracę betonu ściskanego
M (As2) = 0
"
-
M = As1 f (d - a2)= 2.26�"10-4 �"350�"103 �"(0.468 - 0.035) = 34.25 kNm
Rd yd
Ścinanie pomiędzy środnikiem a półką
Podpora A z prawej strony
101.89 + 59.77
VSd = = 80.83 kN
2
z = 0.405 m
"Ftd = 0.50�"10-4 �"350�"103 = 17.50 kN
Ftd = 1.0�"10-4 �"350�"103 + 4.52�"10-4 �"350�"103 = 193.20 kN
17.5
� = = 0.091
f
193.20
VSd 80.03 cot� 1
vSd = � = 0.091�" = 18.16 kN < VRd 2 =� fcd hf = 0.55�"13.3�"103 �"0.05�" = 182.88 kN
f
z 0.405 1+ cot2 � 1+12
0.28�"10-4
vSd = 18.16 kN < VRd 3 = �" 210�"103 = 53.45 kN .
0.11
PRZYKA
AD 2
Zaprojektować belkę żelbetową mając dane: obciążenie zmienne p = 10 kN/m , rozpiętość obliczeniowa
przęsła belki leff = 5.0 m , wysięg wspornika leff ,1 = 1.2 m , szerokość podpory, na której opiera się belka
t = 0.30 m ; wymiary przekroju poprzecznego: beff = 0.60 m , hf = 0.08 m , bw = 0.20 m , h = 0.50 m .
Założono beton klasy C20/25 i stal klasy AIII (34GS). Ciężar objętościowy żelbetu przyjęto
ł = 25 kN/m3 . Dopuszczalna szerokość rysy wlim = 0.2 mm .
żelb.
bw
h
1050 300 1050
4700 300
beff
1200 5000 1200
Schemat statyczny belki
qSd
leff,1 leff leff,1
500
50
450
Podstawy konstrukcji żelbetowych
21
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Wyznaczenie wielkości obciążenia
Obciążenie stałe:
wartość charakterystyczna
g = Acł = [(h - hf ) bw + hf beff ] ł = [(0.50 - 0.08)�"0.20 + 0.60�"0.08]�" 25 = 3.30 kN m
żelb żelb
wartość doliczeniowa (wartość współczynnika dla obciążenia ciężarem własnym ł = 1.1)
f
gSd = gł = 3.30�"1.1 = 3.63kN m
f
Obciążenie zmienne:
wartość charakterystyczna
p =10 kN/m
wartość obliczeniowa (wartość współczynnika dla obciążenia zmiennego w rozpatrywanym przypadku
wynosi ł = 1.2 )
f
pSd = pł =10�"1.2 =12 kN/m
f
Obciążenie całkowite:
wartość charakterystyczna
q = g + p = 3.30 +10 =13.30 kN/m
wartość obliczeniowa
qSd = gSd + pSd = 3.63 +12 =15.63 kN/m
Wykresy momentów i sił tnących
Schemat 1 (od ciężaru własnego) Schemat 2 (maksymalny moment przęsłowy)
3.63 kN/m
12.0 kN/m
1.2 m 5.0 m 1.2 m
1.2 m 5.0 m 1.2 m
2.61
2.61
MSd [kNm]
MSd [kNm]
8.73
37.50
VSd [kN]
VSd [kN]
9.07
30
4.36
2.5 m
9.07 2.5 m
4.36
30
Schemat 3 (minimalny moment przęsłowy) Schemat 4 (maksymalny moment podporowy)
12.0 kN/m
12 kN/m
1.2 m 5.0 m 1.2 m
8.64
1.2 m 5.0 m 1.2m
MSd [kNm]
8.64
33.19
MSd [kNm]
33.30
VSd [kN]
14.40
VSd [kN]
31.73
14.40
2.5 m
28.27
14.40
2.64 m
Podstawy konstrukcji żelbetowych
22
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Schemat 5 (minimalny moment podporowy)
12.0 kN/m
1.2 m 5.0 m 1.2 m
4.33 8.64
MSd [kNm]
2.5 m
14.40
VSd [kN]
1.73
Obwiednia momentów zginających Obwiednia sił tnących
MSd [kNm]
VSd [kN]
11.25
11.25
40.80
2.38 0.09
2.38
18.76
7.34
4.36
4.36
7.34
18.76
46.23
40.80
Dane materiałowe
Beton C20/25 fcd = 13.3 MPa , fck = 20 MPa , fctd = 1.0 MPa , fctm = 2.2 MPa , Ecm = 30 GPa
Stal AIII (34GS) f = 350 MPa , f = 410 MPa , �eff ,lim = 0.53 , Ecm = 200 GPa
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
d = h - a1 = 0.50 - 0.05 = 0.45 m
Minimalne pole przekroju zbrojenia rozciąganego
ńł
0.0013bwd = 0.0013�"0.20�"0.45 = 1.17 �"10-4 m2
�ł
As1,min =
2.2
�ł0.26 fctm bwd = 0.26�" �"0.20�"0.45 = 1.26�"10-4 m2
�ł
f 410
yk
ół
Wymiarowanie na zginanie
Wymiarowanie na maksymalny moment przęsłowy: M = 46.23 kNm
Sd
bw
fcd
bw xeff fcd
MSd xeff
d -0.5xeff
d
h
As1 a1
As1 fyd
beff
M 46.23
Sd
scc = = = 0.086 �eff = 0.090 < �eff ,lim = 0.53
2
bwd fcd 0.20�"0.452 �"13.3�"103
ś = 0.955
eff
Podstawy konstrukcji żelbetowych
23
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
M 46.23
sd
As1 = = = 3.07 �"10-4 m2 > As1,min
ś df 0.955�"0.45�"350�"103
eff yd
Wymiarowanie na minimalny moment przęsłowy: M = 0.09 kNm
sd
1 1
M = (M + M )= �"(11.25 + 0.09)= 3.78 kNm > M = 0.09 kNm
Sdm Sd max, pod . Sd min, prz. Sd min
3 3
bw
MSdm As1 a1
d
h
xeff
beff
Sprawdzenie jednostronnego wysięgu półki
beff - bw 0.60 - 0.20
beff 1 = beff 2 = = = 0.20 m d" 6hf = 6�"0.08 = 0.48 m
2 2
Zakładamy xeff d" hf
M 3.78
Sd
scc = = = 0.002 �eff = 0.002
2
beff d fcd 0.60�"0.452 �"13.3�"103
xeff = �eff d = 0.002�"0.45 = 0.0009 m < hf = 0.08 m , występuje przypadek przekroju  pozornie teowego
sił = 0
"
beff xeff fcd 0.60�"0.0009�"13.3�"103
As1 = = = 0.21�"10-4 m2 < As1,min
f
350�"103
yd
Przyjęto: As1 = As1,min = 1.26�"10-4 m2
Wymiarowanie na maksymalny moment podporowy: M = 11.25 kNm
sd
Zakładamy xeff d" hf
M 11.25
Sd
scc = = = 0.007 �eff = 0.007
2
beff d fcd 0.60�"0.452 �"13.3�"103
xeff = �eff d = 0.007 �"0.45 = 0.003 m < hf = 0.08 m , występuje przypadek przekroju  pozornie teowego
"sił = 0
beff xeff fcd 0.60�"0.003�"13.3�"103
As1 = = = 0.68�"10-4 m2 < As1,min
f 350�"103
yd
Przyjęto: As1 = As1,min = 1.26�"10-4 m2
Dobór zbrojenia
As1 [cm2 ]  zbrojenie obliczone As1, prov [cm2 ]  zbrojenie przyjęte
Przęsło
Moment max 3.07 2#14 3.08
Moment min 1.26 2#10 1.57
Podpora 1.26 2#10 1.57
Podstawy konstrukcji żelbetowych
24
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Wymiarowanie na ścinanie
Podpora A z lewej strony i B z prawej strony:
L P
Maksymalna wielkość siłyVSd = VSdAmax = VSdB max = 18.76 kN
Wielkość siły na krawędzi podpory
40.80 kN
38.46 kN
L L
VSdk = VSdAk = VSdAmax - 0.5tqSd = 18.76 - 0.5�"0.30�"15.63 = 16.42 kN
Siła poprzeczna w odległości d od krawędzi podpory
0.3 m d
VSd = VSdk - dqSd = 16.42 - 0.45�"15.63 = 9.39 kN
16.42 kN
18.76 kN
AsL 1.57 �"10-4
�L = = = 0.002 < 0.01
bwd 0.20�"0.45
� = 0
cp
d
VSd = 9.39 kN < VRd1 = [0.35k fctd (1.2 + 40�L )+ 0.15� ] bwd =
cp
= [0.35�"1.15�"1.0�"103 �"(1.2 + 40�"0.002)]�"0.20�"0.45 = 46.37 kN
fck 20
�ł �ł
� = 0.6�ł1- �ł �ł �ł
= 0.6�"�ł1- = 0.55
�ł
250 250
�ł łł �ł łł
z = 0.9d = 0.9�"0.45 = 0.405 m
VSdk = 16.42 kN < VRd 2 = 0.5� fcdbwz = 0.5�"0.55�"13.3�"103 �"0.20�"0.405 = 296.26 kN
Występuje odcinek I rodzaju
Średnica strzemion
0.2Ć = 0.2�"14 = 2.8 mm
ńł
Ćw e"
�ł4.5 mm
ół
Rozstaw strzemion w kierunku podłużnym
0.75d = 0.75�"0.45 = 0.3375 m
ńł
s1 d"
�ł0.4 m
ół
Rozstaw strzemion w kierunku poprzecznym
d = 0.45 m
ńł
s1 d"
�ł0.6 m
ół
P L
Podpora A z prawej strony i B z lewej strony: VSd = VSdA = VSdB = 40.80 kN
Wielkość siły na krawędzi podpory
P P
VSdk = VSdAk = VSdAmax - 0.5tqSd = 40.80 - 0.5�"0.3�"15.63 = 38.46 kN
Siła poprzeczna w odległości d od krawędzi podpory
d
VSd = VSdk - dqSd = 38.46 - 0.45�"15.63 = 31.43 kN
d
VSd = 31.43 kN < VRd1 = 46.37 kN
Podstawy konstrukcji żelbetowych
25
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
VSdk = 38.46 kN < VRd 2 = 296.26 kN
Występuje odcinek I rodzaju
Przyjęto strzemiona dwuramienne o średnicy Ć 4.5 , ze stali AI(St3S)
Długość zakotwienia prętów zbrojeniowych
Beton C20/25, pręty żebrowane (Ć d" 32 mm ): fbd = 2.3 MPa  tab.24, PN - B - 03264 : 2002
Dla średnicy Ć 14
Podstawowa długość zakotwienia
f
Ć 14 350
yd
lb = = �" = 532.61 mm
4 fbd 4 2.3
Minimalna długość zakotwienia
0.3lb = 0.3�"532.61 = 159.78 mm
ńł
�ł10Ć
lb min = = 10�"14 = 140 mm
�ł
�ł100 mm
ół
Długość zakotwienia
As,req
3.07
lbd = ąalb = 1.0�"532.61�" = 530.88 mm e" lb min
As, prov 3.08
Przyjęto długość zakotwienia lbd = 540 mm
Dla średnicy Ć 10
Podstawowa długość zakotwienia
f
Ć 10 350
yd
lb = = �" = 380.43 mm
4 fbd 4 2.3
Minimalna długość zakotwienia
0.3lb = 0.3�"380.43 = 91.60 mm
ńł
�ł10Ć
lb min = = 10�"10 = 100 mm
�ł
�ł100 mm
ół
Długość zakotwienia
As,req
2.48
lbd = ąalb = 1.0�" 456.52�" = 333.97 mm e" lb min
As, prov 3.39
Przyjęto długość zakotwienia lbd = 310 mm
Podstawy konstrukcji żelbetowych
26
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Podstawy konstrukcji żelbetowych
27
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Podstawy konstrukcji żelbetowych
28
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Wykres momentów od obciążeń charakterystycznych
Schemat 1 (od ciężaru własnego) Schemat 2 (od obciążenia zmiennego)
3.30 kN/m
10.0 kN/m
1.20 5.00 1.20
1.20 5.00 1.20
2.38
2.38
MSd [kNm]
MSd [kNm]
7.94
31.25
Wykres momentów od obciążenia stałego i zmiennego
MSd [kNm]
2.38
2.38
39.19
Dane dla rozpatrywanego przekroju
200
Ć 1.4
2 # 10
a1,rzecz = c +Ćw + = 2 + 0.45 + = 3.15 cm
2 2
Ć 1.0
a2,rzecz = c +Ćw + = 2 + 0.45 + = 2.95 cm
20
2 2
Ć 4.5
drzecz = 50 - 3.15 = 46.85 cm
As1, prov = 3.08 cm2
600
2 # 8
2 # 8
2 # 14
As2, prov = 1.57 cm2
Szerokość rys prostopadłych do osi elementu
Y0
0.20
X0
X
0.60
SX 0.60�"0.08�"0.5�"0.08 + 0.20�"0.42�"(0.08 + 0.21)
y0 = = = 0.1991 m
Ac 0.60�"0.08 + 0.20�"0.42
0.60�"0.083 0.20�"0.423
I0 = + 0.20�"0.08�"0.15912 + + 0.20�"0.42�"0.09092 = 3.1695�"10-3 m4
12 12
500
80
0.3009
0.42
0.50
0.1991
0.08
Podstawy konstrukcji żelbetowych
29
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
I0 3.1695�"10-3
Wc = = = 0.01592 m3
y0 0.1991
M = 39.19 kNm > Mcr = fctmWc = 2.2 �"103 �" 0.01592 = 35.02 kNm
Sd
� = 1.3 , przy zarysowaniu wywołanym przez opór stawiany odkształceniom wymuszonym w przekrojach,
w których najmniejszy wymiar nie przekracza 300 mm.
Zgodnie z zaleceniami PN - B - 03264 : 2002 minimalna średnica zbrojenia ściskanego uwzględnianego
ze względu na nośność wynosi 12 mm.
Es 200
ąe = = = 6.67
Ecm 30
łł łł
ąe As1 �ł 2bwd 6.67 �"3.08�"10-4 �ł 2�"0.20�"0.4684
xII = = �" 1+ = 0.0884 m
�ł-1+ 1+ śł �ł-1+ śł
bw �ł ąe As1 śł 0.20 6.67 �"3.08�"10-4 śł
�ł
�ł �ł �ł �ł
2.5a1 = 2.5�"0.0315 = 0.079 m
ńł
�ł
� = min =
�łh - xII 0.50 - 0.0884
= = 0.1372 m
�ł
� ół 3 3
2 # 14
Procent zbrojenia określamy w stosunku do szerokości środnika.
Act,eff = 0.20�"0.079 = 0.0158 m2
As 3.08�"10-4
�r = = = 0.019
Act,eff 0.0158
k1 = 0.8  pręty żebrowane
k2 = 0.5  zginanie
Ć 14
srm = 50 + 0.25k1k2 = 50 + 0.25�"0.8�"0.5�" = 121.81 mm
�r 0.019
2
�ł łł
�ł �ł
� �
s
�ł �ł �ł śł
� = 1- �1�2 sr
sm
�ł
Es �ł �ł �
�ł śł
�ł s łł
�ł
xII 0.0884
z = d - = 0.4685 - = 0.4390 m , ramię sił wewnętrznych w przekroju przez rysę
3 3
M 39.19
Sd
� = = = 289841.14 kPa
s
zAs1 0.4390�"3.08�"10-4
�1 = 1.0  pręty żebrowane
�2 = 0.5  przy obciążeniu długotrwałym lub wielokrotnie zmiennym
� M
sr cr
=  przy zginaniu
� M
s Sd
2
2
�ł łł
�ł łł
�ł �ł
� M 289841.14 35.02
s
�ł �ł �ł śł
� = 1- �1�2 sr = �" 1-1.0�"0.5�"�ł �ł = 8.706�"10-4
�ł �ł �ł śł
sm
�ł
Es �ł �ł M 39.19
�ł śł 200�"106 �ł
�ł łł
�ł Sd łł śł
�ł �ł
�ł
wk = � srm� = 1.3�"121.81�"8.706�"10-4 = 0.138 mm < wlim = 0.2 mm
sm
Stan graniczny ugięcia
a = a0,k +d - a0,d + a",d
Podstawy konstrukcji żelbetowych
30
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Wyznaczenie ugięcia powstałego natychmiast po jednoczesnym przyłożeniu obciążenia krótko  i
długotrwałego.
2
M leff
a0,k +d = ąk Sd
B0
5
ąk =  belka swobodnie podparta równomiernie obciążona
48
M = 39.19 kNm > M = 35.02 kNm
Sd cr
Sztywność elementu zarysowanego
EcmIII
B0 =
2
�ł �ł �ł �ł
� III
�ł �ł �ł �ł
1- �1�2 sr
�ł �ł �ł1- �ł
� II
�ł s łł �ł łł
xII = 0.0884 m
3
bwxII 0.20�"0.08843
2 2
III = +ąe As1(d - xII ) = + 6.67 �"3.08�"10-4 �"(0.4685 - 0.0884) = 3.4286�"10-4 m4
3 3
Położenie osi obojętnej w fazie Ia
bw
xI
d
h
h  xI  hf
h  xI d  xI
a1
hf As1
beff
Acs = bwh +(beff - bw) hf +ąe As1 = 0.20�"0.50 + (0.60 - 0.20)�"0.08 + 6.67 �"3.08�"10-4 = 0.1341 m2
hf
�ł �ł
bwh2
�ł
SCS 0 = +(beff - bw) hf �łh - �ł
+ąe As1d =
�ł
2 2
�ł łł
0.20�"0.52 0.08
�ł
= + (0.60 - 0.20)�"0.08�"�ł0.50 - �ł
+ 6.67 �"3.08�"10-4 �"0.4685 = 0.0407 m2
�ł
2 2
�ł łł
SCS 0 0.0407
xI = = = 0.3034 m
ACS 0.1341
3 3
3
(h ) (beff - bw)(h - xI - hf )
bwxI beff - xI
2
II = + - +ąe As1(d - xI ) =
3 3 3
3 3
0.20�"0.30343 0.60�"(0.50 - 0.3034) (0.60 - 0.20)�"(0.50 - 0.3034 - 0.08)
= + - +
3 3 3
2
+ 6.67 �"3.08�"10-4 �"(0.4685 - 0.3034) = 3.2263�"10-3 m4
�1 = 1.0  pręty żebrowane
�2 = 1.0  obciążenie działające krótkotrwale
� M
sr cr
=  przy zginaniu
� M
s Sd
Podstawy konstrukcji żelbetowych
31
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
EcmIII 30�"106 �"3.4286�"10-4
B0 = = = 51049.32 kPa
2 2
�ł
�ł �ł �ł �ł �ł
M III 1-1.0�"1.0�"�ł 35.02 �ł �"�ł1- 3.4286�"10-4 �ł
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł
1- �1�2 cr
�ł �ł �ł1- �ł
39.19
3.2263�"10-3 �ł
M II �ł łł
�ł łł
�ł Sd łł �ł łł
2
M leff 5 39.19�"52
a0,k +d = ąk Sd = �" = 0.002 m
B0 48 51049.32
Wyznaczenie ugięcia powstałego natychmiast po przyłożeniu obciążenia długotrwałego.
2
M leff
a0,d = ąk Sd
B0
M = 7.94 kNm < M = 35.02 kNm  przekrój niezarysowany
Sd cr
B0 = EcmII = 30�"106 �"3.2263�"10-3 = 96789.23 kPa
2
M leff 5 7.94�"52
a0,d = ąk Sd = �" = 0.0002 m
B0 48 96789.23
Wyznaczenie ugięcia długotrwałego wywołanego obciążeniem długotrwałym.
2
M leff
a0," = ąk Sd
B"
M = 7.94 kNm < M = 35.02 kNm  przekrój niezarysowany
Sd cr
Naprężenie w betonie
M xI 7.94�"0.3034
Sd
� = = = 746.67 kPa = 0.75 MPa < 0.45 fcm = 0.45�" 28 = 12.60 MPa
c
II 3.2263�"10-3
Wiek betonu 28 dni, element wewnątrz budynku RH = 50%
2Ac 2�"(600�"80 + 420�" 200)
h0 = = = 146.67 mm
u (600 + 2�"80 + 2�" 420 + 200)
3.0 - 3.7
Ć(",t0) = �"(146.67 - 50)+ 3.7 = 3.02
150 - 50
Ecm 30
Ec,eff = = = 7.46 GPa
1+Ć(",t0) 1+ 3.02
Es 200
ąet = = = 26.81
Ec,eff 7.46
Acs = bwh +(beff - bw) hf +ąet As1 = 0.20�"0.50 + (0.60 - 0.20)�"0.08 + 26.81�"3.08�"10-4 = 0.1403 m2
hf
�ł �ł
bwh2
�ł
SCS 0 = +(beff - bw) hf �ł h - �ł
+ąet As1d =
�ł
2 2
�ł łł
0.20�"0.52 0.08
�ł
= + (0.60 - 0.20)�"0.08�"�ł0.50 - �ł
+ 26.81�"3.08�"10-4 �"0.4685 = 0.0436 m2
�ł
2 2
�ł łł
Podstawy konstrukcji żelbetowych
32
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
S 0.043
CS 0
x = = = 0.3100 m
I
ACS 0.1403
3 3
3
(h ) (beff - bw)(h - xI - hf )
bwxI beff - xI
2
II = + - +ąet As1(d - xI ) =
3 3 3
3 3
0.20�"0.31073 0.60�"(0.50 - 0.3107) (0.60 - 0.20)�"(0.50 - 0.3107 - 0.08)
= + - +
3 3 3
2
+ 26.81�"3.08�"10-4 �"(0.4685 - 0.3107) = 3.3878�"10-3 m4
B" = Ec,eff II = 7.46�"106 �"3.3878�"10-3 = 25272.71 kPa
2
M leff 5 7.94�"52
a0," = ąk Sd = �" = 0.0008 m
B" 48 25272.71
leff 5
a = a0,k +d - a0,d + a",d = 0.002 - 0.0002 + 0.0008 = 0.0026 m = 2.6 mm < alim = = = 0.025 m = 25 mm
200 200
(Tab. 8 PN - B - 03264 : 2002 , str.31)
Określenie nośności ze względu na zginanie
Przekrój 1 -1
Odległość środka ciężkości zbrojenia górnego od włókien skrajnych
Ć 1.0
200
a2 = cmin +Ćw + = 2.0 + 0.45 + = 2.95 cm
2 # 10
2 2
20 Pole powierzchni zbrojenia górnego: As2 = 1.57 cm2
Ć 4.5
Odległość środka ciężkości zbrojenia dolnego od włókien skrajnych
Ć 1.4
a1 = cmin +Ćw + = 2.0 + 0.45 + = 3.15 cm
600 2 2
2 # 8
2 # 8
2 # 14
Pole powierzchni zbrojenia dolnego: As1 = 3.08 cm2
+
Rozciągane włókna dolne: M
Rd
d = h - a1 = 0.50 - 0.0315 = 0.685 m
bw
fcd
bw xeff fcd
xeff
MRd
d
d -0.5xeff
h
As1 a1
As1 fyd
beff
"sił = 0
As1 f - As2 f
3.08�"10-4 �"350�"103
yd yd
xeff = = = 0.041 m < xeff ,lim = �eff ,limd = 0.53�"0.4685 = 0.2483 m
bw fcd 0.20�"13.3�"103
M (As1)= 0
"
500
80
Podstawy konstrukcji żelbetowych
33
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
xeff
�ł �ł
0.041
�ł
+
�ł
M = bwxeff fcd �łd - �ł
= 0.20�"0.041�"13.3�"103 �"�ł0.4685 - �ł
= 48.85 kNm
�ł
Rd
�ł
2 2
�ł łł
�ł łł
-
Rozciągane włókna górne: M
Rd
bw
a1 As1 fyd
MRd As1
d
h
As2 hf beff xeff fcd
fcd As2 fyd
beff a2
d = h - a1 = 0.50 - 0.0295 = 0.4705 m
sił = 0
"
As1 f - As2 f
1.57 �"10-4 �"350�"103 - 3.08�"10-4 �"350�"103
yd yd
xeff = = = -0.006 m < hf = 0.08 m
beff fcd
0.60�"13.3�"103
xeff = -0.006 m < 2a2 = 2�"0.0315 = 0.063 m , pomijamy pracę betonu ściskanego
M (As2) = 0
"
-
M = As1 f (d - a2)= 3.08�"10-4 �"350�"103 �"(0.4705 - 0.0315) = 24.12 kNm
Rd yd
PRZYKA
AD 3
Zaprojektować belkę żelbetową mając dane: qSd = 60 kN/m , leff = 6.0 m , b = 30 cm , h = 60 cm , beton
C16/20, stal AII (18G2), wlim = 0.3 mm , szerokość podpory: t = 25 cm .
qSd = 60 kN/m 2
qSdleff 60�"62
M = = = 270 kNm
Sd
8 8
leff =6.0 m
qSdleff 60�"6
VSd = = = 180 kN
2 2
MSd = 270 kNm
VSd = 180 kN
VSd = 180 kN
Dane materiałowe:
Beton C16/20 fcd =10.6 MPa , fck =16 MPa , fctd = 0.87 MPa , fctm =1.9 MPa
Stal AII (18G2) fyd = 310 MPa , fyk = 355 MPa , �eff ,lim = 0.55
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.60 = 0.06 m
d = h - a1 = 0.60 - 0.06 = 0.54 m
Minimalne pole przekroju zbrojenia rozciąganego:
2
eff
d  a
d -
0.5
x
eff
x
Podstawy konstrukcji żelbetowych
34
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
ńł
fctm 1.9�"103
�"0.30�"0.54 = 2.25�"10-4 m2 = 2.25 cm2
�ł0.26 bd = 0.26�"
f
355�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
ół0.0013bd = 0.0013�"0.30�"0.54 = 2.11�"10-4 m2 = 2.11 cm2
Wymiarowanie na zginanie
fcd
xeff bxeff fcd
M 270
Sd
d
scc = = = 0.291 �eff = 0.353 < �eff ,lim = 0.55
2
d -0.5xeff
bwd fcd 0.30�"0.542 �"10.6�"103
h
MSd As1
a1
ś = 0.824
As1 fyd
b eff
M 270
sd
As1 = = = 1.957 �"10-3 m2 = 19.57cm2 > As1,min
ś df 0.824�"0.54�"310�"103
eff yd
Przyjęto: 4 # 25 o As,prov = 19.64 cm2.
Długość zakotwienia prętów zbrojeniowych
Beton C16/20, pręty żebrowane (Ć d" 32 mm ): fbd = 2.0 MPa - tab.24, PN - B - 03264 : 2002
Dla średnicy Ć 25
Podstawowa długość zakotwienia
f
Ć 25 310
yd
lb = = �" = 968.75 mm
4 fbd 4 2.0
Minimalna długość zakotwienia
0.3lb = 0.3�"965.30 = 289.59 mm
ńł
�ł
lb min = = 10�" 25 = 250 mm
�ł10Ć
�ł100 mm
ół
Długość zakotwienia
As,req
19.57
lbd = ąalb = 1.0�"968.75�" = 965.30 mm e" lb min
As, prov 19.64
Przyjęto długość zakotwienia lbd = 970 mm
Wymiarowanie na ścinanie
Maksymalna wielkość siłyVSdAmax = 180 kN
Wielkość siły na krawędzi podpory
VSd max VSdk
d
VSdk
VSdk = 0.5tqSd = 180 - 0.5�"0.25�"60 = 172.50 kN
Siła poprzeczna w odległości d od krawędzi podpory
d
t d
VSd = VSdk - dqSd = 172.50 - 0.54�"60 = 140.10 kN
k = 1.6 - d = 1.6 - 0.54 = 1.06 > 1.0
AsL 19.64�"10-4
�L = = = 0.012 > 0.01 , do dalszych obliczeń przyjmujemy �L = 0.01
bwd 0.3�"0.54
� = 0 (nie występują podłużne siły ściskające)
cp
d
VSd = 140.10 kN > VRd1 = [0.35k fctd (1.2 + 40�L )+ 0.15� ] bwd =
cp
Podstawy konstrukcji żelbetowych
35
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
= [0.35�"1.06�"0.87 �"103 �"(1.2 + 40�"0.01)]�"0.30�"0.54 = 83.66 kN
fck
�ł �ł 16
�ł
� = 0.6 1- �ł �ł �ł
= 0.6�"�ł1- = 0.56
�ł
250 250
�ł łł �ł łł
z = 0.9d = 0.9�"0.54 = 0.486 m
VSdk = 172.50 kN < VRd 2 = 0.5� fcdbwz = 0.5�"0.56�"10.6�"103 �"0.30�"0.486 = 432.73 kN
Występuje odcinek II rodzaju.
Długość odcinka, na którym należy zastosować zagęszczony rozstaw strzemion
VSdk -VRd1 172.50 - 83.66
aw2 = = = 1.48 m
qSd 60
Przyjęcie zbrojenia na ścinanie
0.2Ć = 0.2�" 25 = 5 mm
ńł
Ćw e"
�ł
ół4.5 mm
Jako zbrojenie na ścinanie przyjęto strzemiona czteroramienne Ć 6 stali AII (18G2) o Asw1 = 1.13 cm2 , dla
której f = 310 MPa , f = 355 MPa .
ywd1 yk
Założono cot� = 1.2
Rozstaw strzemion
Asw1 f
1.13�"10-4 �"310�"103
ywd1
s1 = z cot� = �"0.486�"1.2 = 0.1646 m
d
VSd 140.10
Przyjęto rozstaw strzemion s1 = 0.16 m
Sprawdzenie przyjętego rozstawu strzemion:
0.08 fck 0.08�" 16
Asw1 1.13�"10-4
�w1 = = = 0.002 >� = = = 0.0009 .
w,min
s1bw 0.16�"0.30 f 355
yk
Sprawdzenie nośności ściskanego krzyżulca betonowego ze względu na zmiażdżenie:
cot� 1.2
VSdk = 172.50 kN < VRd 2 =�fcdbwz = 0.56�"10.6�"103 �"0.30�"0.486�" = 425.64 kN
1+ cot2 � 1+1.22
Sprawdzenie nośności rozciąganego zbrojenia podłużnego
Wielkość momentu odczytana w odległości d od krawędzi podpory: M = 106.43 kNm
Sd
M M
106.43
Sd Sd
Ftd = + "Ftd = + 0.5VSd cot� = + 0.5�"140.10�"1.2 = 303.05 kN <
z z 0.486
< Fs = As f = 19.64�"10-4 �"310�"103 = 608.84 kN
yd
Sprawdzenie dopuszczalnej szerokości rys ukośnych
VSd 140.10
� = = = 864.81 kPa
bwd 0.30�"0.54
1 1
 = = = 700 mm
�w1 0.002
3 3�"
�1Ć1 0.7 �"6
2
4�  4�"864.812 �"700
wk = = = 0.327 mm > wlim = 0.3 mm , stan graniczny rys ukośnych został
�wE fck 0.002�" 200�"106 �"16�"103
s
przekroczony. Należy zmniejszyć rozstaw strzemion.
Przyjęto rozstaw strzemion s1 = 0.15 m
Podstawy konstrukcji żelbetowych
36
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Asw1 1.13�"10-4
�w1 = = = 0.003 >�
w,min
s1bw 0.15�"0.30
1 1
 = = = 466.67 mm
�w1 0.003
3 3�"
�1Ć1 0.7 �"6
2
4�  4�"864.812 �" 466.67
wk = = = 0.145 mm < wlim = 0.3 mm
�wE fck 0.002�" 200�"106 �"16�"103
s
Rozstaw strzemion na środkowym odcinku belki
Rozstaw strzemion w kierunku podłużnym
0.75d = 0.75�"0.54 = 0.405 m
ńł
s1 d"
�ł0.4 m
ół
Rozstaw strzemion w kierunku poprzecznym
d = 0.54 m
ńł
s1 d"
�ł0.6 m
ół
A B
NR 2
2 NR 3
NR 4
NR 1
250 2 NR 3 co 150 mm NR 4 co 250 mm 2 NR 3 co 150 mm 250
250 1500 2750 1500 250
B
A
5750 250
250
6000
4 NR 2 # 10 l = 6200 mm
6200
310
310
560
560
4 NR 1 # 25 l = 7490 mm
6200
PRZEKRÓJ A - A PRZEKRÓJ B -B
NR 2
NR 2
NR 4
2 NR 3
20
20
NR 1
NR 1
300
300
600
600
600
Podstawy konstrukcji żelbetowych
37
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
260
178
60 60
560
60 60
560
NR 4 Ć 6 co 250 mm,
NR 3 Ć 6 co 150 mm,
560 560
l = 1760 mm, szt. 10
l = 1596 mm, szt. 44
178 260
PRZYKA
AD 4
Zaprojektować belkę żelbetową mając dane: FSd = 200 kN , leff = 6.0 m , b = 25 cm , h = 50 cm , beton
C20/25, stal AIII (RB400W), szerokość podpory t = 25 cm , dopuszczalna szerokość rysy wlim = 0.3 mm .
3.0 m 200 kN
FSdleff 200�"6
6.0 m
M = = = 300 kNm
Sd
4 4
FSd 200
VSd = = = 100 kN
300 kNm
2 2
100 kN
100 kN
Dane materiałowe
Beton C20/25 fcd = 13.3 MPa , fck = 20 MPa , fctd = 1.0 MPa , fctm = 2.2 MPa
Stal AIII (RB400W) f = 350 MPa , f = 400 MPa , �eff ,lim = 0.53
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
d = h - a1 = 0.50 - 0.05 = 0.45 m
Minimalne pole przekroju zbrojenia rozciąganego
ńł
fctm 2.2�"103
�"0.25�"0.45 = 1.61�"10-4 m2 = 1.61 cm2
�ł0.26 f bd = 0.26�"
400�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
ół0.0013bd = 0.0013�"0.25�"0.45 = 1.46�"10-4 m2 = 1.46 cm2
Wymiarowanie na zginanie
fcd
bxeff fcd
xeff
d
d -0.5xeff
h
MSd As1 a1
As1 fyd
b
M 300
Sd
scc = = = 0.446 �eff = 0.671 > �eff ,lim = 0.53
2
bd fcd 0.25�"0.452 �"13.3�"103
Należy dozbroić strefę ściskaną przekroju belki.
Podstawy konstrukcji żelbetowych
38
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Na zbrojenie ściskane zastosowano ten sam gatunek stali co na rozciągane.
Zakładamy xeff = xeff ,lim = �eff ,limd = 0.53�"0.45 = 0.2385 m
Schemat 1 Schemat 2
fcd As2 fyd fcd a2
a2
xeff,lim bxeff,lim fcd
As2 As2 fyd
As2 xeff,lim
bxeff,lim fcd
d
d
d
d -0.5xeff,lim
d -0.5xeff,lim
h
MSd As1 MSd1 As1.1 a1
MSd2 As1.2
a1
a1 As1.2 fyd
As1.1 fyd
As1 fyd
b
b
b
M = M + M
Sd Sd1 Sd 2
As1 =As1.1+ As1.2
Rozpatrujemy schemat 1:
Z sumy momentów względem zbrojenia rozciąganego wyznaczamy wielkość momentu MSd1:
(As1)
"M = 0
xeff ,lim
�ł �ł
0.2385
�ł
�ł
M = xeff ,limbfcd �łd - �ł
= 0.2385�"0.25�"13.3�"103 �"�ł0.45 - �ł
= 262.29 kNm
�ł
Sd1
�ł
2 2
�ł łł
�ł łł
Z sumy rzutów wyznaczamy ilość zbrojenia rozciąganego As1.1:
"sił = 0 : As1 f = xeff fcdb
yd ,lim
fcd 13.3�"103
As1.1 = xeff ,limb = �"0.2385�"0.25 = 2.266�"10-3 m2 = 22.66 cm2
f
350�"103
yd
Rozpatrujemy schemat 2
M = M - M = 300 - 262.29 = 37.71 kNm
Sd 2 Sd Sd1
a2 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
M (As1.2) = 0 : M = As2 f (d - a2 )
"
sd 2 yd
M 37.71
Sd 2
As2 = = = 2.69�"10-4 m2 = 2.69 cm2
f (d - a2)
350�"103 �"(0.45 - 0.05)
yd 3 # 12
Z sumy rzutów sił wyznaczamy zbrojenie As1.2:
sił = 0 : As1.2 f = As2 f As1.2 = As2 = 2.69 cm2
"
yd yd
Ć 4,5
As1 = As1.1 + As1.2 = 22.66 + 2.69 = 25.32 cm2
Przyjęto zbrojenie rozciągane As1: 6 # 25 o As1, prov = 29.45 cm2
6 # 25
zbrojenie ściskanie As2: 3 # 12 o As2, prov = 3.39 cm2
250
Długość zakotwienia prętów zbrojeniowych
Beton C20/25, pręty żebrowane (Ć d" 32 mm ): fbd = 2.3 MPa - tab.24, PN - B - 03264 : 2002
Dla średnicy Ć 25
Podstawowa długość zakotwienia
f
Ć 25 350
yd
lb = = �" = 951.09 mm
4 fbd 4 2.3
Minimalna długość zakotwienia
2
2
d  a
d  a
500
Podstawy konstrukcji żelbetowych
39
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
0.3lb = 0.3�"951.09 = 285.33 mm
ńł
�ł10Ć
lb min = = 10�" 25 = 250 mm
�ł
�ł100 mm
ół
Długość zakotwienia
As,req
25.32
lbd = ąalb = 1.0�"951.09�" = 817.71 mm e" lb min
As, prov 29.45
Przyjęto długość zakotwienia lbd = 820 mm
Wymiarowanie na ścinanie
Maksymalna wielkość siłyVSdAmax = 100 kN
k = 1.6 - d = 1.6 - 0.45 = 1.15 > 1.0
Cztery pręty Ć 25 spośród sześciu przyjętych na zginanie spełniają warunek długości zakotwienia d + lbd
czyli AsL = 19.64 cm2
AsL 19.64�"10-4
�L = = = 0.017 > 0.01, do dalszych obliczeń przyjmujemy �L = 0.01
bwd 0.25�"0.45
� = 0 (nie występują podłużne siły ściskające)
cp
d
VSd = 100.0 kN > VRd1 = [0.35k fctd (1.2 + 40�L )+ 0.15� ] bwd =
cp
= [0.35�"1.15�"1.0�"103 �"(1.2 + 40�"0.01)]�"0.25�"0.45 = 72.45 kN
�ł1- fck 20
�ł �ł
� = 0.6 = 0.6�"�ł1- = 0.55
�ł �ł �ł �ł
250 250
�ł łł �ł łł
z = 0.9d = 0.9�"0.55 = 0.405 m
VSdk = 100.0 kN < VRd 2 = 0.5� fcdbwz = 0.5�"0.55�"13.3�"103 �"0.25�"0.405 = 370.32 kN
Występuje odcinek II rodzaju.
Długość odcinka, na którym należy zastosować zagęszczony rozstaw strzemion: aw2 = 3.0 m
Przyjęcie zbrojenia na ścinanie
0.2Ć = 0.2�" 25 = 5 mm
ńł
Ćw e"
�ł4.5 mm
ół
Jako zbrojenie na ścinanie przyjęto strzemiona dwuramienne Ć 6 stali AII (18G2) o Asw1 = 0.56 cm2 , dla
której f = 310 MPa , f = 355 MPa .
ywd1 yk
Założono cot� = 1.1
Rozstaw strzemion
Asw1 f
0.56�"10-4 �"310�"103
ywd1
s1 = z cot� = �"0.405�"1.1 = 0.07 7m
100.0
VSd
Przyjęto rozstaw strzemion s1 = 0.07 m
Sprawdzenie przyjętego rozstawu strzemion
0.08 fck 0.08�" 20
Asw1 0.56�"10-4
�w1 = = = 0.003 >� = = = 0.001
w,min
s1bw 0.07 �"0.25 f 355
yk
Sprawdzenie nośności ściskanego krzyżulca betonowego ze względu na zmiażdżenie:
Podstawy konstrukcji żelbetowych
40
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
cot� 1.1
VSdk = 172.50 kN < VRd 2 =� fcdbwz = 0.55�"13.3�"103 �"0.25�"0.405�" = 368.65 kN
1+ cot2 � 1+1.12
Sprawdzenie nośności rozciąganego zbrojenia podłużnego
Wielkość momentu odczytana w odległości d od krawędzi podpory: M = 0 kNm
Sd
M M
Sd Sd
Ftd = + "Ftd = + 0.5VSd cot� = 0.5�"100�"1.1 = 55.0 kN <
z z
< Fs = As f = 19.64�"10-4 �"350�"103 = 687.40 kN
yd
Sprawdzenie dopuszczalnej szerokości rys ukośnych
VSd 100.0
� = = = 888.89 kPa
bwd 0.25�"0.45
1 1
 = = = 466.67 mm
�w1 0.003
3 3�"
�1Ć1 0.7 �"6
2
4�  4�"888.892 �" 466.67
wk = = = 0.123 mm < wlim = 0.3 mm
�wE fck 0.003�" 200�"106 �"16�"103
s
Rozstaw strzemion na środkowym odcinku belki
Rozstaw strzemion w kierunku podłużnym
0.75d = 0.75�"0.45 = 0.3375 m
ńł
s1 d"
�ł0.4 m
ół
Rozstaw strzemion w kierunku poprzecznym
d = 0.45 m
ńł
s1 d"
�ł0.6 m
ół
Uwaga: Rysunek zbrojenia belki do samodzielnego wykonania wzorując się na przykładach podanych wyżej
i zasadami zbrojenia przekrojów żelbetowych zalecanych przez aktualnie obowiązująca normę
PN - B - 03264 : 2002 , pkt. 8.
PRZYKA
AD 5
Obliczyć zbrojenie zginanej belki żelbetowej mając dane: qSd =100 kN/m , leff = 6.0 m , b = 30 cm ,
h = 50 cm , beton C20/25, stal AIII (34GS).
100 kN/m
Dane materiałowe
Beton C20/25 fcd = 13.3 MPa , fck = 20 MPa , fctd = 1.0 MPa ,
6.0 m
fctm = 2.2 MPa
Stal AIII (34GS) f = 350 MPa , f = 410 MPa , �eff ,lim = 0.53
yd yk
450 kNm
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
d = h - a1 = 0.50 - 0.05 = 0.45 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
Podstawy konstrukcji żelbetowych
41
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
ńł
fctm 2.2�"103
�"0.30�"0.45 = 1.88�"10-4 m2 = 1.88 cm2
�ł0.26 f bd = 0.26�"
410�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
ół0.0013bd = 0.0013�"0.30�"0.45 = 1.76�"10-4 m2 = 1.76 cm2
Wymiarowanie ze względu na zginanie
fcd
bxeff fcd
xeff
d
d -0.5xeff
h
MSd As1 a1
As1 fyd
b
M 450
Sd
scc = = = 0.556 > scc,lim = 0.390
2
bd fcd 0.30�"0.452 �"13.3�"103
Należy dozbroić strefę ściskaną przekroju belki.
Na zbrojenie ściskane zastosowano ten sam gatunek stali co na rozciągane.
Zakładamy xeff = xeff ,lim = �eff ,limd = 0.53�"0.45 = 0.2385 m
Schemat 1 Schemat 2
fcd As2 fyd fcd a2
a2
xeff,lim bxeff,lim fcd
As2 As2 fyd
As2 xeff,lim
bxeff,lim fcd
d
d
d
d -0.5xeff,lim
d -0.5xeff,lim
h
MSd As1 MSd1 As1.1 a1
MSd2 As1.2
a1
a1 As1.2 fyd
As1.1 fyd
As1 fyd
b
b
b
M = M + M
Sd Sd1 Sd 2
As1 =As1.1+ As1.2
Rozpatrujemy schemat 1:
Z sumy momentów względem zbrojenia rozciąganego wyznaczamy wielkość momentu MSd1:
M (As1) = 0
"
xeff ,lim
�ł �ł
0.2385
�ł
�ł
M = xeff ,limbfcd �łd - �ł
= 0.2385�"0.30�"13.3�"103 �"�ł0.45 - �ł
= 314.75 kNm
�ł
Sd1
�ł
2 2
�ł łł
�ł łł
Z sumy rzutów wyznaczamy ilość zbrojenia rozciąganego As1.1:
"sił = 0 : As1 f = xeff fcdb
yd ,lim
fcd 13.3�"103
As1.1 = xeff ,limb = �"0.2385�"0.30 = 2.719�"10-3 m2 = 27.19 cm2
f
350�"103
yd
Rozpatrujemy schemat 2
M = M - M = 400 - 314.75 = 135.25 kNm
Sd 2 Sd Sd1
a2 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
'
Na zbrojenie ściskane zastosowano stal AII (18G2) o f = 310 MPa
yd
'
(As1.2) (d
"M = 0 : M = As2 f - a2)
sd 2 yd
2
2
d  a
d  a
Podstawy konstrukcji żelbetowych
42
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
M 135.25
Sd 2
As2 = = = 1.091�"10-3 m2 = 10.91 cm2
'
f (d - a2) 310�"103 �"(0.45 - 0.05)
yd
Z sumy rzutów sił wyznaczamy zbrojenie As1.2:
'
"sił = 0 : As1.2 f = As2 f
yd yd
'
f
310�"103
As1.2 = As2 yd = 10.91�"10-4 �"
= 9.66�"10-4 m2 = 9.66 cm2
f 350�"103
yd
4 # 18
As1 = As1.1 + As1.2 = 27.19 + 9.66 = 36.85 cm2
Ć 4,5
Przyjęto zbrojenie rozciągane As1: 8 # 25 o As1, prov = 39.27 cm2
zbrojenie ściskanie As2: 4 # 20 o As2, prov = 12.57 cm2
7 # 25
250
PRZYKA
AD 6
Obliczyć zbrojenie zginanej belki żelbetowej mając dane: qSd = 90 kN/m, leff = 6.0 m, b = 25 cm, h = 60 cm,
beton C16/20, stal AIII (34GS).
90 kNm
Dane materiałowe:
6.0 m
Beton C16/20 fcd = 10.6 MPa, fck = 16 MPa, fctd = 0.87 MPa, fctm = 1.9 MPa.
Stal AIII (34GS) f = 350 MPa , f = 410 MPa , �eff ,lim = 0.53 ,
yd yk
scc,lim = 0.390
405 kNm
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.60 = 0.06 m
d = h - a1 = 0.60 - 0.06 = 0.54 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego:
ńł
fctm 1.9�"103
�"0.30�"0.54 = 1.95�"10-4 m2 = 1.95 cm2
�ł0.26 f bd = 0.26�"
410�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
ół0.0013bd = 0.0013�"0.30�"0.54 = 2.10�"10-4 m2 = 2.10 cm2
Wymiarowanie na zginanie
fcd
bxeff fcd
xeff
d
d -0.5xeff
h
MSd As1 a1
As1 fyd
b
M 405
Sd
scc = = = 0.437 �eff = 0.644 > �eff ,lim = 0.53
2
bd fcd 0.30�"0.542 �"10.6�"103
Należy dozbroić strefę ściskaną przekroju belki.
Na zbrojenie ściskane zastosowano ten sam gatunek stali co na rozciągane.
500
Podstawy konstrukcji żelbetowych
43
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Zakładamy xeff = xeff .lim = �eff ,limd = 0.53�"0.54 = 0.2862 m
a2 = 0.1h = 0.1�" 0.60 = 0.06 m
a2 fcd As2 fyd
As2 xeff,lim bxeff,lim fcd
d
d -0.5xeff,lim
h
MSd As1 a1
As1 fyd
b
Z sumy momentów względem zbrojenia rozciąganego wyznaczamy pole powierzchni zbrojenia ściskanego
As2:
(As1)
"M = 0
xeff ,lim
�ł �ł
�ł
M - bxeff ,lim fcd �ł d - �ł
sd
�ł
2
�ł łł
As2 = =
f (d - a2)
yd
0.2862
�ł
405.0 - 0.30�"0.2862�"10.6�"103 �"�ł0.54 - �ł
�ł
2
�ł łł
= = 2.61�"10-4 m2 = 2.61 cm2
350�"103 �"(0.54 - 0.06)
Z sumy rzutów sił wyznaczamy zbrojenie rozciągane As1
3 # 12
"sił = 0
As2 f + bxeff ,lim fcd
yd
106
Ć 4.5
As1 = =
f
yd
20
49.33
2.61�"10-4 �"350�"103 + 0.30�"0.2862�"10.6�"103
= = 2.861�"10-3 m2 = 8 # 25
350�"103
25
= 28.61 cm2 > As1,min
Przyjęto: zbrojenie rozciągane 6 # 25 o As1, prov = 29.45 cm2
300
zbrojenie ściskane 3 # 12 o As2, prov = 3.39 cm2
PRZYKA
AD 7
Dla danych jak w Przykładzie 3 obliczyć zbrojenie na zginanie metodą bezwspółczynnikową.
60 kNm
6.0 m
2
qSdleff 60�"62
M = = = 270 kNm
Sd
8 8
270 kNm
Dane materiałowe
Beton C16/20 fcd = 10.6 MPa, fck = 16 MPa, fctd = 0.87 MPa, fctm = 1.9 MPa
Stal AII (18G2) f = 310 MPa , f = 355 MPa , �eff ,lim = 0.55
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.60 = 0.06 m
2
d  a
600
Podstawy konstrukcji żelbetowych
44
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
d = h - a1 = 0.60 - 0.06 = 0.54 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
ńł
fctm 1.9�"103
�"0.30�"0.54 = 2.25�"10-4 m2 = 2.25 cm2
�ł0.26 bd = 0.26�"
f
355�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
ół0.0013bd = 0.0013�"0.30�"0.54 = 2.11�"10-4 m2 = 2.11 cm2
Wymiarowanie ze względu na zginanie
fcd
bxeff fcd
xeff
d
d -0.5xeff
h
MSd As1 a1
As1 fyd
b
Z sumy momentów względem zbrojenia rozciąganego wyznaczamy wysokość strefy ściskanej xeff:
(As1)
"M = 0
xef
�ł �ł
�ł
M - xef bfcd �łd - �ł
= 0
Sd
�ł
2
�ł łł
xeff
�ł �ł
�ł
270 - 0.3�"10.6�"103 xeff �ł0.54 - �ł
= 0
�ł
2
�ł łł
2
270 -1717.2xeff +1590xeff = 0
2
1590xeff -1717.2xeff + 270 = 0
2
" = b2 - 4ac = (-1717.2) - 4�"1590�" 270 = 1231575.84 m2
" = 1109.76 m
- b - " 1717.20 -1109.76
xeff 1 = = = 0.1910 m = 19.10 cm
2a 2�"1590
- b + " 1717.20 +1109.76
xeff 1 = = = 0.8890 m = 88.90 cm
2a 2�"1590
xeff = 0.1910 m < xeff ,lim = �eff ,limd = 0.55�"0.54 = 0.297 m , czyli przekrój jest pojedynczo zbrojony
Z sumy rzutów sił wyznaczamy pole powierzchni zbrojenia As1 :
2 Ć 10
sił = 0 : As1 f = xeff bfcd
"
yd
xeff bfcd 0.1910�"0.3�"10.6�"103
As1 = = = 1.959�"10-3 m2 = 19.59 cm2 > As1,min
Ć 4,5
f 310�"103
yd
Przyjęto: 4 # 25 o As,prov = 19.64 cm2.
4 # 25
300
600
Podstawy konstrukcji żelbetowych
45
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
PRZYKA
AD 8
Zaprojektować belkę żelbetową ze względu na zginanie mając dane: qSd = 5 kN/m, leff = 5.0 m, b = 25 cm,
h = 50 cm, beton C16/20, stal AIII (34GS).
5 kN/m
2
qSdleff 5�"52
M = = = 15.63 kNm
Sd
8 8
5.0 m
15.63 kNm
Dane materiałowe
Beton C16/20 fcd = 10.6 MPa, fck = 16 MPa, fctd = 0.87 MPa, fctm = 1.9 MPa
Stal AIII (34GS) f = 350 MPa , f = 410 MPa , �eff ,lim = 0.53
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
d = h - a1 = 0.50 - 0.05 = 0.45 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
ńł
fctm 1.9�"103
�"0.25�"0.45 = 1.35�"10-4 m2 = 1.35 cm2
�ł0.26 bd = 0.26�"
f 410�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
ół0.0013bd = 0.0013�"0.25�"0.45 = 1.46�"10-4 m2 = 1.46 cm2
fcd
xeff bxeff fcd
d
d -0.5xeff
h
MSd As1
a1
As1 fyd
b
M 15.63
Sd
scc = = = 0.029 �eff = 0.029 < �eff ,lim = 0.53
2
bwd fcd 0.25�"0.452 �"10.6�"103
2 Ć 8
ś = 0.985
eff
M 15.63
sd
As1 = = = 1.01�"10-3 m2 = 1.01 cm2 < As1,min
Ć 4,5
ś df
0.985�"0.45�"350�"103
eff yd
Przyjęto: As1 = As1,min = 1.46 cm2
3 # 8
Jako zbrojenie rozciągane przyjęto: 3 # 8 o As,prov = 1.51 cm2.
250
PRZYKA
AD 9
Zaprojektować belkę żelbetową mając dane: qSd = 30 kN/m, leff = 5.0 m, bw = 20 cm, h = 40 cm, hf = 8 cm,
beff = 50 cm, beton C20/25, stal AII (18G2), szerokość podpory t = 0.30 m, dopuszczalna szerokość rysy
wlim = 0.2 mm .
500
Podstawy konstrukcji żelbetowych
46
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
qSd = 30 kN/m
2
qSdleff 30�"52
leff =5.0 m
M = = = 93.75 kNm
Sd
8 8
qSdleff 30�"5
VSd = = = 75 kN
MSd = 93.75 kNm
2 2
VSd = 75 kN
VSd = 75 kN
Dane materiałowe
Beton C20/25 fcd = 13.3 MPa , fck = 20 MPa , fctd = 1.0 MPa , fctm = 2.2 MPa
Stal AII (18G2) f = 310 MPa , f = 355 MPa , �eff ,lim = 0.55
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.40 = 0.04 m
d = h - a1 = 0.40 - 0.04 = 0.36 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
ńł
fctm 2.2�"103
�"0.20�"0.36 = 1.16�"10-4 m2 = 1.16 cm2
�ł0.26 bwd = 0.26�"
f 355�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
d = 0.0013�"0.20�"0.36 = 9.36�"10-5 m2 = 0.94 cm2
ół0.0013bw
Wymiarowanie ze względu na zginanie
beff
fcd
xeff
hf
beff xeff fcd
h
d
d -0.5xeff
MSd As1 a1
As1 fyd
bw
Sprawdzenie jednostronnego wysięgu półki:
beff - bw 0.5 - 0.2
beff 1 = beff 2 = = = 0.15 m < 6hf = 6�"0.08 = 0.48 m
2 2
Zakładamy przekrój  pozornie teowy : xeff d" hf
M 93.75
Sd
scc = = = 0.109 �eff = 0.116, ś = 0.942
eff
2
beff d fcd 0.50�"0.362 �"13.3�"103
xeff = �eff d = 0.116�"0.36 = 0.042 m < hf = 0.08 m , czyli założenie było słuszne występuje przypadek
 pozornie teowy
M 93.75
Sd
As1 = = = 8.92�"10-4 m2 = 8.92 cm2 > As1,min
ś df
0.942�"0.36�"310�"103
eff yd
Przyjęto: 3 # 20 o As1, prov = 9.43 cm2
Podstawy konstrukcji żelbetowych
47
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Długość zakotwienia prętów zbrojeniowych
Beton C20/25, pręty żebrowane (Ć d" 32 mm ): fbd = 2.3 MPa  tab.24, PN - B - 03264 : 2002
Dla średnicy Ć20
Podstawowa długość zakotwienia
f
Ć 20 310
yd
lb = = �" = 673.91 mm
4 fbd 4 2.3
Minimalna długość zakotwienia
0.3lb = 0.3�"673.91 = 202.17 mm
ńł
�ł
lb min = Ć = 10�" 20 = 200 mm
�ł10
�ł100 mm
ół
Długość zakotwienia
As,req
8.92
lbd = ąalb = 1.0�"673.91�" = 637.46 mm e" lb min
As, prov 9.43
Przyjęto długość zakotwienia lbd = 640 mm
Wymiarowanie na ścinanie
Maksymalna wielkość siłyVSdAmax = 75 kN
Wielkość siły na krawędzi podpory
VSd max VSdk
d
VSdk = 0.5tqSd = 75 - 0.5�"0.3�"30 = 70.5 kN
VSdk
Siła poprzeczna w odległości d od krawędzi podpory
d
VSd = VSdk - dqSd = 70.5 - 0.36�"30 = 59.70 kN
t d
k = 1.6 - d = 1.6 - 0.36 = 1.24 > 1.0
AsL 9.43�"10-4
�L = = = 0.013 > 0.01, do dalszych obliczeń przyjmujemy �L = 0.01
bwd 0.20�"0.36
� = 0 (nie występują podłużne siły ściskające)
cp
d
VSd = 59.70 kN > VRd1 =[0.35k fctd (1.2 + 40�L )+ 0.15� ] bwd =
cp
=[0.35�"1.24 �"1.0 �"103 �"(1.2 + 40 �" 0.01)]�" 0.20 �" 0.36 = 50.0 kN
fck
�ł �ł 20
�ł
� = 0.6 1- �ł �ł �ł
= 0.6�"�ł1- = 0.552
�ł
250 250
�ł łł �ł łł
z = 0.9d = 0.9�"0.36 = 0.324 m
VSdk = 70.5 kN < VRd 2 = 0.5� fcdbwz = 0.5�"0.552�"13.3�"103 �"0.20�"0.324 = 237.87 kN
Występuje odcinek II rodzaju.
Długość odcinka, na którym należy zastosować zagęszczony rozstaw strzemion
VSdk -VRd1 70.5 - 50
aw2 = = = 0.6833 m
qSd 30
Przyjęcie zbrojenia na ścinanie
0.2Ć = 0.2�" 20 = 4 mm
ńł
Ćw e"
�ł
ół4.5 mm
Podstawy konstrukcji żelbetowych
48
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Jako zbrojenie na ścinanie przyjęto strzemiona dwuramienne Ć 6 stali AII (18G2) o Asw1 = 0.56 cm2 , dla
której f = 310 MPa , f = 355 MPa .
ywd1 yk
Założono cot� = 1.0
Rozstaw strzemion
Asw1 f
0.56�"10-4 �"310�"103
ywd1
s1 = z cot� = �"0.324�"1.0 = 0.10 m
d
VSd 59.70
Przyjęto rozstaw strzemion s1 = 0.10 m
Sprawdzenie przyjętego rozstawu strzemion.
0.08 fck 0.08�" 20
Asw1 0.56�"10-4
�w1 = = = 0.003 >� = = = 0.001
w,min
s1bw 0.10�"0.20 f 355
yk
Sprawdzenie nośności ściskanego krzyżulca betonowego ze względu na zmiażdżenie:
cot� 1.0
VSdk = 70.5 kN < VRd 2 =�fcdbwz = 0.552�"13.3�"103 �"0.20�"0.324�" = 237.87 kN
1+ cot2 � 1+1.02
Sprawdzenie nośności rozciąganego zbrojenia podłużnego
Wielkość momentu odczytana w odległości d od krawędzi podpory: M = 34.35 kNm
Sd
M M
34.35
Sd Sd
Ftd = + "Ftd = + 0.5VSd cot� = + 0.5�"59.70�"1.0 = 135.87 kN <
z z 0.324
< Fs = As f = 9.43�"10-4 �"310�"103 = 292.33 kN
yd
Sprawdzenie dopuszczalnej szerokości rys ukośnych
VSd 59.70
� = = = 829.17 kPa
bwd 0.20�"0.36
1 1
 = = = 466.67 mm
�w1 0.003
3 3�"
�1Ć1 0.7 �"6
2
4�  4�"829.172 �" 466.67
wk = = = 0.107 mm < wlim = 0.2 mm
�wE fck 0.003�" 200�"106 �" 20�"103
s
Rozstaw strzemion na środkowym odcinku belki
Rozstaw strzemion w kierunku podłużnym
0.75d = 0.75�"0.36 = 0.27 m
ńł
s1 d"
�ł
ół0.4 m
Rozstaw strzemion w kierunku poprzecznym
d = 0.36 m
ńł
s1 d"
�ł
ół0.6 m
Uwaga: Rysunek zbrojenia belki do samodzielnego wykonania wzorując się na przykładach podanych wyżej
i zasadami zbrojenia przekrojów żelbetowych zalecanych przez aktualnie obowiązująca normę
PN - B - 03264 : 2002 , pkt. 8.
Podstawy konstrukcji żelbetowych
49
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
PRZYKA
AD 10
Zaprojektować zginany przekrój żelbetowy mając dane: qSd = 50 kN/m, leff = 6.0 m, bw = 20 cm, h = 50 cm,
hf = 10 cm, beff = 40 cm, beton C16/20, stal AII (18G2).
50 kN/m
2
qSdleff 50�"62
6.0 m M = = = 225 kNm
Sd
8 8
225 kNm
Dane materiałowe
Beton C16/20 fcd = 10.6 MPa, fck = 16 MPa, fctd = 0.87 MPa, fctm = 1.9 MPa.
Stal AII (18G2) f = 310 MPa , f = 355 MPa , �eff ,lim = 0.55
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
d = h - a1 = 0.50 - 0.05 = 0.45 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
ńł
fctm 1.9�"103
�"0.20�"0.45 = 1.25�"10-4 m2 = 1.25 cm2
�ł0.26 f bwd = 0.26�"
355�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
w
ół0.0013b d = 0.0013�"0.20�"0.45 = 1.17 �"10-4 m2 = 1.17 cm2
beff
fcd
xeff hf
beff xeff fcd
d
h d -0.5xeff
MSd As1 a1
As1 fyd
bw
Sprawdzenie jednostronnego wysięgu półki:
beff - bw 0.4 - 0.2
beff 1 = beff 2 = = = 0.10 m < 6hf = 6�"0.10 = 0.60 m
2 2
Zakładamy przekrój  pozornie teowy : xeff d" hf
M 225
Sd
scc = = = 0.262 �eff = 0.310
2
beff d fcd 0.4�"0.452 �"10.6�"103
xeff = �eff d = 0.310�"0.45 = 0.1395 > hf = 0.10 m , czyli założenie było błędne występuje przypadek
przekroju  rzeczywiście teowego
Schemat 1 Schemat 2
beff beff
beff
fcd fcd fcd
(beff -bw)hf fcd
hf
hf hf
bw xeff fcd
Acc,eff fcd
xeff
xeff
d
h
d h d
h
MSd As1 MSd1 As1.1 As1.2
MSd2
a1
a1
a1
As1 fyd As1.1 fyd As1.2 fyd
bw bw bw
M = M + M
Sd Sd1 Sd 2
As1 = As1.1 + As1.2
f
ff
e
c
z
d -
0.5
h
d -
0.5
x
Podstawy konstrukcji żelbetowych
50
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Rozpatrujemy schemat 1:
Z sumy momentów względem zbrojenia rozciąganego wyznaczamy wielkość momentu MSd1:
M (As1.1) = 0
"
hf
�ł �ł
0.10
�ł
�ł = (0.4 = 84.80 kNm
M = (beff - bw) hf fcd �łd - �ł - 0.2)�"0.10 �"10.6�"103 �"�ł0.45 - �ł
�ł
Sd1
�ł
2 2
�ł łł
�ł łł
Z sumy rzutów wyznaczamy ilość zbrojenia rozciąganego As1.1:
(beff
"sił = 0 : As1.1 fyd = - bw) hf fcd
(beff - bw) hf fcd
(0.40 - 0.20)�" 0.10�"10.6�"103
As1.1 = = = 6.84�"10-4 m2 = 6.84 cm2
f 310�"103
yd
Rozpatrujemy schemat 2
M = M - M = 225 - 84.80 = 140.20 kNm
Sd 2 Sd Sd1
M 140.20
Sd 2
scc = = = 0.323 �eff = 0.411 < �eff ,lim = 0.55
2
bwd fcd 0.20�"0.452 �"10.60�"103
ś = 0.794
eff
M 140.20
Sd 2
As1.2 = = = 1.265�"10-3 m2 = 12.65 cm2
ś df 0.794�"0.45�"310�"103
eff yd
As1 = As1.1 + As1.2 = 6.84 +12.65 = 19.49 cm2 > As1,min
Przyjęto: 4 # 25 o As1, prov = 19.64 cm2
Uwaga: Rysunek zbrojenia belki do samodzielnego wykonania wzorując się na przykładach podanych wyżej
i zasadami zbrojenia przekrojów żelbetowych zalecanych przez aktualnie obowiązująca normę
PN - B - 03264 : 2002 , pkt. 8.
PRZYKA
AD 11
Zaprojektować zginany przekrój żelbetowy mając dane: qSd = 20 kN/m, leff = 4.0 m, bw = 20 cm, h = 45 cm,
hf = 8 cm, beff = 60 cm, beton C16/20, stal AIII (34GS).
20 kN/m
2
qSdleff 20�" 42
M = = = 40 kNm
4.0 m
Sd
8 8
40.0 kNm
Dane materiałowe
Beton C16/20 fcd = 10.6 MPa, fck = 16 MPa, fctd = 0.87 MPa, fctm = 1.9 MPa.
Stal AIII (34GS) f = 350 MPa , f = 410 MPa , �eff ,lim = 0.53
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.45 = 0.045 m
d = h - a1 = 0.45 - 0.045 = 0.405 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
Podstawy konstrukcji żelbetowych
51
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
ńł
fctm 1.9�"103
�"0.20�"0.405 = 9.75�"10-5 m2 = 0.98 cm2
�ł0.26 bwd = 0.26�"
f 410�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
d = 0.0013�"0.20�"0.405 = 1.05�"10-4 m2 = 1.05 cm2
ół0.0013bw
Sprawdzenie jednostronnego wysięgu półki:
beff - bw 0.6 - 0.2
beff 1 = beff 2 = = = 0.20 m < 6hf = 6�"0.08 = 0.48 m
2 2
Zakładamy xeff = hf i obliczamy wielkość momentu jaki przeniesie półka teownika
beff
fcd
beff hf fcd
hf
d
h
d -0.5hf
Mp As1 a1
As1 fyd
bw
(As1)
"M = 0
hf
�ł �ł
0.08
�ł
�ł
M = beff hf fcd �ł d - �ł
= 0.60�"0.08�"10.6�"103 �"�ł0.405 - �ł
= 185.71 kNm
�ł
p
�ł
2 2
�ł łł
�ł łł
M = 40 kNm < M = 185.71 kNm , czyli występuje przypadek  pozornie teowy
Sd p
M 40
Sd
scc = = = 0.038 �eff = 0.039, ś = 0.980
eff
2
beff d fcd 0.60�"0.4052 �"10.6�"103
M 40
Sd
As1 = = = 2.89�"10-4 m2 = 2.89 cm2 > As1,min
ś df 0.980�"0.405�"350�"103
eff yd
Przyjęto: 3 # 12 o As1, prov = 3.39 cm2
Uwaga: Rysunek zbrojenia belki do samodzielnego wykonania wzorując się na przykładach podanych wyżej
i zasadami zbrojenia przekrojów żelbetowych zalecanych przez aktualnie obowiązująca normę
PN - B - 03264 : 2002 , pkt. 8.
PRZYKA
AD 12
Obliczyć zbrojenie na zginanie mając dane: qSd = 50 kN/m, leff = 1.5 m, bw = 20 cm, h = 50 cm, hf = 5 cm,
beff = 60 cm, beton C20/25, stal AIII (34GS).
50 kN/
2
qSdleff 50�"1.52
M = = = 52.25 kNm
1.5 m
Sd
2 2
52.25 kNm
Dane materiałowe
Beton C20/25 fcd = 13.3 MPa , fck = 20 MPa , fctd = 1.0 MPa , fctm = 2.2 MPa , Ecm = 30 GPa
Stal AIII (34GS) f = 350 MPa , f = 410 MPa , �eff ,lim = 0.53
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
Podstawy konstrukcji żelbetowych
52
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
d = h - a1 = 0.50 - 0.05 = 0.45 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
ńł
fctm 2.2�"103
�"0.20�"0.45 = 1.25�"10-4 m2 = 1.25 cm2
�ł0.26 bd = 0.26�"
f 410�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
d = 0.0013�"0.20�"0.45 = 1.17 �"10-4 m2 = 1.17 cm2
ół0.0013bw
Sprawdzenie jednostronnego wysięgu półki:
beff - bw 0.6 - 0.2
beff 1 = beff 2 = = = 0.20 m < 6hf = 6�"0.05 = 0.30 m
2 2
Zakładamy xeff = hf i obliczamy wielkość momentu jaki przeniesie półka teownika
bw
As1 fyd
Mp As1 a1
d
d -0.5hf
h
beff hf fcd
hf
fcd
beff
(As1)
"M = 0
hf
�ł �ł
0.05
�ł
�ł
M = beff hf fcd �ł d - �ł
= 0.60�"0.05�"13.3�"103 �"�ł0.45 - �ł
= 167.58 kNm
�ł
p
�ł
2 2
�ł łł
�ł łł
M = 52.25 kNm < M = 167.58 kNm , czyli występuje przypadek  pozornie teowy
Sd p
M 52.25
Sd
scc = = = 0.032 �eff = 0.033, ś = 0.984
eff
2
beff d fcd 0.60�"0.452 �"13.3�"103
M 52.25
Sd
As1 = = = 3.37 �"10-4 m2 = 3.37 cm2 > As1,min
ś df
0.984�"0.45�"350�"103
eff yd
Przyjęto: 3 # 12 o As1, prov = 3.39 cm2
Uwaga: Rysunek zbrojenia belki do samodzielnego wykonania wzorując się na przykładach podanych wyżej
i zasadami zbrojenia przekrojów żelbetowych zalecanych przez aktualnie obowiązująca normę
PN - B - 03264 : 2002 , pkt. 8.
PRZYKA
AD 13
Obliczyć zbrojenie na zginanie mając dane: qSd = 100 kN/m, leff = 2.0 m, bw = 25 cm, h = 60 cm, hf = 5 cm,
beff = 40 cm, beton C20/25, stal AII (18G2).
100 kN/m
2
qSdleff 100�" 2.02
M = = = 200 kNm
2.0 m
Sd
2 2
200 kNm
Dane materiałowe
Beton C20/25 fcd = 13.3 MPa , fck = 20 MPa , fctd = 1.0 MPa , fctm = 2.2 MPa
Podstawy konstrukcji żelbetowych
53
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Stal AII (18G2) f = 310 MPa , f = 355 MPa , �eff ,lim = 0.55
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.60 = 0.06 m
d = h - a1 = 0.60 - 0.06 = 0.54 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
ńł
fctm 2.2�"103
�"0.25�"0.54 = 2.17 �"10-4 m2 = 2.17 cm2
�ł0.26 f bd = 0.26�"
355�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
w
ół0.0013b d = 0.0013�"0.25�"0.54 = 1.76�"10-4 m2 = 1.76 cm2
Sprawdzenie jednostronnego wysięgu półki:
beff - bw 0.40 - 0.24
beff 1 = beff 2 = = = 0.075 m < 6hf = 6�"0.05 = 0.30 m
2 2
bw
As1 fyd
MSd As1 a1
d -0.5hf
d
h
xeff
beff xeff fcd
hf
fcd
beff
Zakładamy przekrój  pozornie teowy : xeff d" hf
M 200
Sd
scc = = = 0.129 �eff = 0.139
2
beff d fcd 0.4�"0.542 �"13.3�"103
xeff = �eff d = 0.139�"0.54 = 0.075 > hf = 0.05 m , czyli założenie było błędne występuje przypadek
 rzeczywiście teowy
Schemat 1 Schemat 2
bw bw
bw
As1 fyd As1.1 fyd
As1.2 fyd
MSd2 a1
MSd As1 a1 MSd1 As1.1 a1
As1.2
h
d
d h
h
d
xeff
xeff
hf hf
Acc,eff fcd
hf
bw xeff fcd
(beff -bw)hf fcd
beff fcd beff fcd
beff fcd
M = M + M
Sd Sd1 Sd 2
As1 = As1.1 + As1.2
Rozpatrujemy schemat 1:
Z sumy momentów względem zbrojenia rozciąganego wyznaczamy wielkość momentu MSd1:
(As1.1)
"M = 0
hf
�ł �ł
0.05
�ł
�ł
M = (beff - bw) hf fcd �ł d - �ł - 0.25)�" 0.05�"13.3�"103 �"�ł0.54 - �ł
= (0.4 = 51.34 kNm
�ł
Sd1
�ł
2 2
�ł łł
�ł łł
Z sumy rzutów wyznaczamy ilość zbrojenia rozciąganego As1.1:
sił = 0 : As1.1 fyd = (beff - bw) hf fcd
"
ff
f
e
c
z
d -
0.5
h
d -
0.5
x
Podstawy konstrukcji żelbetowych
54
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
(beff - bw)hf fcd
(0.40 - 0.25)�"0.05�"13.3�"103
As1.1 = = = 3.22�"10-4 m2 = 3.22 cm2
f
310�"103
yd
Rozpatrujemy schemat 2
M = M - M = 200 - 51.37 = 148.63 kNm
Sd 2 Sd Sd1
M 148.63
Sd 2
scc = = = 0.153 �eff = 0.167 < �eff ,lim = 0.55
2
bwd fcd 0.25�"0.542 �"13.3�"103
ś = 0.917
eff
M 148.63
Sd 2
As1.2 = = = 9.68�"10-4 m2 = 9.68 cm2
ś df
0.917 �"0.54�"310�"103
eff yd
As1 = As1.1 + As1.2 = 3.22 + 9.68 = 12.90 cm2 > As1,min
Przyjęto: 3 # 25 o As1, prov = 14.73 cm2
Uwaga: Rysunek zbrojenia belki do samodzielnego wykonania wzorując się na przykładach podanych wyżej
i zasadami zbrojenia przekrojów żelbetowych zalecanych przez aktualnie obowiązująca normę
PN - B - 03264 : 2002 , pkt. 8.
PRZYKA
AD 14
Zaprojektować belkę żelbetową ze względu na zginanie mając dane: qSd = 10 kN/m, leff = 5.0 m, bw = 25 cm,
h = 60 cm, hf = 5 cm, beff = 50 cm, beton C16/20, stal AII (18G2).
10 kN/m
2
qSdleff 10�"52
5.0 m
M = = = 31.25 kNm
Sd
8 8
31.25 kNm
Dane materiałowe:
Beton C16/20 fcd = 10.6 MPa, fck = 16 MPa, fctd = 0.87 MPa, fctm = 1.9 MPa
Stal AII (18G2) f = 310 MPa , f = 355 MPa , �eff ,lim = 0.55
yd yk
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.50 = 0.05 m
d = h - a1 = 0.50 - 0.05 = 0.45 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia rozciąganego
ńł
fctm 1.9�"103
�"0.25�"0.45 = 1.57 �"10-4 m2 = 1.57 cm2
�ł0.26 f bwd = 0.26�"
355�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
w
ół0.0013b d = 0.0013�"0.25�"0.45 = 1.46�"10-4 m2 = 1.46 cm2
Podstawy konstrukcji żelbetowych
55
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
bw
fcd
bw xeff fcd
MSd xeff
d
d -0.5xeff
h
As1 fyd
As1 a1 hf
beff
M 31.25
Sd
scc = = = 0.058 �eff = 0.060 < �eff ,lim = 0.55
2
bwd fcd 0.25�"0.452 �"10.6�"103
ś = 0.970
eff
M 31.25
sd
As1 = = = 2.31�"10-3 m2 = 2.31 cm2 > As1,min
ś df
0.970�"0.45�"310�"103
eff yd
Jako zbrojenie rozciągane przyjęto: 3 # 10 o As1,prov = 2.36 cm2.
Średnica strzemion
0.2Ć = 0.2�"10 = 2.0 mm
ńł
Ćw = , przyjęto średnicę strzemion Ć = 4.5 mm
�ł
w
ół4.5 mm
Uwaga: Rysunek zbrojenia belki do samodzielnego wykonania wzorując się na przykładach podanych wyżej
i zasadami zbrojenia przekrojów żelbetowych zalecanych przez aktualnie obowiązująca normę
PN - B - 03264 : 2002 , pkt. 8.
PRZYKA
AD 14
Zaprojektować belkę żelbetową ze względu na zginanie i ścinanie mając dane: FSd = 150 kN, leff = 2.0 m,
bw = 30 cm, h = 60 cm, hf = 10 cm, beff = 60 cm, beton C25/30, stal AIII (RB400W), szerokość podpory
t = 30 cm , dopuszczalna szerokość rysy wlim = 0.3 mm .
150 kN
M = Fsdleff = 150 �" 2.0 = 300 kNm
2.0 m Sd
MSd = 300 kNm
VSd = 150 kN
Dane materiałowe:
beton C25/30 fcd = 16.7 MPa , fck = 20 MPa , fctd = 1.2 MPa , fctm = 2.6 MPa ,
Stal AIII (RB400W) f = 350 MPa , f = 400 MPa , �eff ,lim = 0.53
yd yk
Podstawy konstrukcji żelbetowych
56
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
beff
As1 fyd
As1 a1 hf
d -0.5xeff
h
d
xeff
MSd
bw xeff fcd
bw
fcd
Wysokość użyteczna przekroju
a1 = 0.1h = 0.1�"0.60 = 0.06 m
d = h - a1 = 0.60 - 0.06 = 0.54 m
Minimalne pole powierzchni zbrojenia
ńł
fctm 2.6�"103
�"0.30�"0.45 = 2.74�"10-4 m2 = 2.74 cm2
�ł0.26 bwd = 0.26�"
f
400�"103
As1,min =
�ł yk
�ł
ół0.0013bd = 0.0013�"0.30�"0.54 = 2.11�"10-4 m2 = 2.11 cm2
Wymiarowanie na zginanie
M 300
Sd
scc = = = 0.205 �eff = 0.232 < �eff ,lim = 0.53
2
bwd fcd 0.30�"0.542 �"16.7 �"103
ś = 0.884
eff
M 300
Sd
As1 = = = 1.796�"10-3 m2 = 17.96 cm2 > As1,min
ś df
0.884�"0.54�"350�"103
eff yd
Przyjęto zbrojenie: 4 # 20 + 4 # 14 o As1, prov = 12.57 + 6.16 = 18.73 cm2
Długość zakotwienia prętów zbrojeniowych
Beton C25/30, pręty żebrowane (Ć d" 32 mm ), tab. 24 PN - B - 03264 : 2002 : fbd = 2.7 MPa
Dla średnicy Ć 20
Podstawowa długość zakotwienia
f
Ć 20 350
yd
lb = = �" = 648.15 mm
4 fbd 4 2.7
Długość zakotwienia
As,req
17.96
lbd = ąalb = 1.0�"648.15�" = 621.50 mm
As, prov 18.73
Minimalna długość zakotwienia
0.3lb = 0.3�"648.15 = 194.45 mm
ńł
�ł
lb,min = Ć = 10�" 20 = 200 mm
�ł10
�ł100 mm
ół
Przyjęto długość zakotwienia lbd = 630 mm
Wymiarowanie na ścinanie
VSd = 150 kN - maksymalna siła poprzeczna
k = 1.6 - d = 1.6 - 0.54 = 1.06 > 1.0
Zbrojenie o średnicy Ć 20 o AsL = 12.57 cm2 spełnia długość zakotwienia d + lbd = 540 + 630 = 1170 mm
od miejsca, w którym obliczane jest zbrojenie na działanie sił poprzecznych.
Podstawy konstrukcji żelbetowych
57
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
AsL 12.57 �"10-4
�L = = = 0.008 < 0.01
bwd 0.30�"0.54
� = 0 (nie występują podłużne siły ściskające)
cp
VSd = 150 kN > VRd1 = [0.35k fctd (1.2 + 40�L )+ 0.15� ] bwd =
cp
= [0.35�"1.06�"1.2�"103 �"(1.2 + 40�"0.008)]�"0.30�"0.54 = 109.63 kN
fck
�ł �ł 25
�ł
� = 0.6 1- �ł �ł �ł
= 0.6�"�ł1- = 0.54
�ł
250 250
�ł łł �ł łł
z = 0.9d = 0.9�"0.54 = 0.486 m
VSd = 150 kN < VRd 2 = 0.5� fcdbwz = 0.5�"0.54�"16.7 �"103 �"0.30�"0.486 = 657.41 kN
VRd1 = 109.63 kN < VSd = 150 kN < VRd 2 = 657.41 kN
Występuje odcinek II rodzaju.
Długość odcinka, na którym należy zastosować zagęszczony rozstaw strzemion wynosi
aw2 = leff - 0.5t = 2.0 - 0.5�"0.3 = 1.85 m
ponieważ na całej długości belki wartość siły poprzecznej jest stała.
Przyjęcie zbrojenia na ścinanie
0.2Ć = 0.2�" 20 = 4 mm
ńł
Ćw e"
�ł
ół4.5 mm
Jako zbrojenie na ścinanie przyjęto strzemiona czteroramienne Ć 6 stali AI (St3S) o Asw1 = 1.13 cm2 , dla
której f = 210 MPa , f = 240 MPa .
ywd1 yk
Założono cot� = 1.1
Rozstaw strzemion
Asw1 f
1.13�"10-4 �" 210�"103
ywd1
s1 = z cot� = �"0.486�"1.1 = 0.0846 m
d
VSd 150
Przyjęto rozstaw strzemion s1 = 0.08 m
0.08 fck 0.08�" 25
Asw1 1.13�"10-4
�w1 = = = 0.005 >� = = = 0.002
w,min
s1bw 0.08�"0.30 f 240
yk
Sprawdzenie nośności ściskanego krzyżulca betonowego ze względu na zmiażdżenie:
cot� 1.1
VSd = 150 kN < VRd 2 =�fcdbwz = 0.54�"16.7 �"103 �"0.30�"0.486�" = 654.44 kN
1+ cot2 � 1+1.12
Sprawdzenie nośności rozciąganego zbrojenia podłużnego
Wielkość momentu na krawędzi podpory: M = 277.5 kNm
Sd
M M
277.5
Sd Sd
Ftd = + "Ftd = + 0.5VSd cot� = + 0.5�"150�"1.1 = 653.49 kN <
z z 0.486
< Fs = As f = 18.73�"10-4 �"350�"103 = 655.55 kN
yd
Podstawy konstrukcji żelbetowych
58
Do użytku wewnętrznego (na prawach rękopisu)
Belki  przykładowe rozwiązania Wersja 2008 dr inż. Maria WA
ODARCZYK
Sprawdzenie dopuszczalnej szerokości rys ukośnych
VSd 150
� = = = 925.93 kPa
bwd 0.30�"0.54
1 1
 = = = 400 mm
�w1 0.005
3 3�"
�1Ć1 1.0�"6
2
4�  4�"925.932 �" 400
wk = = = 0.055 mm < wlim = 0.3 mm
�wE fck 0.005�" 200�"106 �" 25�"103
s
Rozstaw strzemion na środkowym odcinku belki
Rozstaw strzemion w kierunku podłużnym
0.75d = 0.75�"0.54 = 0.405 m
ńł
s1 d"
�ł
ół0.4 m
Rozstaw strzemion w kierunku poprzecznym
d = 0.54 m
ńł
s1 d"
�ł
ół0.6 m
Uwaga: Rysunek zbrojenia belki do samodzielnego wykonania wzorując się na przykładach podanych wyżej
i zasadami zbrojenia przekrojów żelbetowych zalecanych przez aktualnie obowiązująca normę
PN - B - 03264 : 2002 , pkt. 8.
Materiały pomocnicze:
1. PN  B  03264:2002. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie.
2. Starosolski W.: Konstrukcje żelbetowe według PN  B  03264:2002 i Eurocodu 2. PWN, Warszawa 2006,
Tom I.
3. Private communication: Goszczyńska B.
4. A
apko A.: Projektowanie konstrukcji żelbetowych. Arkady, Warszawa 2001.
5. Dąbrowski K., Stachurski W., Zieliński J.L.: Konstrukcje betonowe. Arkady, Warszawa 1982.
6. Private communication: Szwed A.
7. Piasta J., Piasta W. G.: Beton zwykły. Arkady, Warszawa 1997.
8. Godycki-Ćwirko T.: Mechanika betonu. Arkady, Warszawa 1982.
9. A
apko A., Jansen B.J.: Podstawy projektowania i algorytmy obliczeń konstrukcji żelbetowych. Arkady, Warszawa
2005.
10. Private communication: Jemioło S.
11. Neville A.M.: Właściwości betonu. Polski Cement, Kraków 2000.
12. Kobiak J., Stachurski W.: Konstrukcje żelbetowe. Arkady, Warszawa 1984, tom I.
13. Private communication: Goszczyński S.
14. Firkowicz S.: Statystyczne badanie wyrobów. WNT, Warszawa 1970.
15. Ajdukiewicz A., Starosolski W., Sulimoswki Z.: Konstrukcje betonowe. Laboratorium. Skrypty uczelniane
Politechniki Śląskiej Nr 929, Gliwice 1980.
16. Instrukcja 194/98. Badania cech mechanicznych betonu na próbkach wykonanych w formach. Instytut techniki
Budowlanej. Warszawa 1998.
17. Żmuda J.: Podstawy projektowania konstrukcji metalowych. Arkady, Warszawa 1997.