spomK 04

/.*AW

Zaćiair 11-1

wyznaczyć

1 1

x na losowymi o

71 4 A, Slł-A^-A.’ dla#-U

ponieważ:

Pierwsze przybliżenie obciążenia wyznaczamy z rozwinięcia:

-^1)

które po opuszczeniu wyrazów rzędu wyższego niż 2 przyjmuje postać: - 1 1 1,1,1

Obciążenie to wyraża ®ę wzorem:

»ni«_lAAdekwartnym moódan matematycznym sygnału wyjściowego pewnego czujnika

pomiarowego jest lunkcje

y sr + 0.01* ^J + Ay

gdzie Ay — Ay - ^r'A'^0.aj ). Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję odpowiedzi tego czujnika na sygnał:

x(l) - &in{/) * d*    dla /-c[o.2w]

gdzie Ar~Ax — riA"(o,cr] ) Zakiryć. 2r zmienne losowe At i Ay są niezależne.

Rozwiązanie:

y(/) “ O^srofr)* /br] +• 0,0l|sin^ł(r) -» 2 sin(r)dr ■+ Ax³1 + Ay -

/.-/.W

- ^0,5sin(/) + 0.01 sin² (r)j + |0,5 ♦ 0,02 sin(/))a*r -f O.Oldbr' - Ay

e{Z(')] «/.(')♦ 0.01^

^/*(')]- fjj/o ♦/, A + O.OlAr¹ + Ay) J =

= /o ♦ fi t( dr¹ ]♦ JO'⁴ E(A⁴]♦ E(V]^2/„/, F(Ar] ₊ 2/.0.01    +    Ą*\-

■ł-2/_ią01E(A^,] + 2/_l E{4r4rj^2 0.01E[A^,Ą;]

♦/,’** -H0“V_o 4crJ +0.(0/,^ +0102/,/in =

= /.' ♦(/»* +0.(D/₉)*> 4oJ ♦10-*^ ♦0.02/,^

t²[r(0]»(y,*^00,^)^J -/,² +0.02/^] 4.

YaifFC/)]-/,¹^ -    ♦ »0“V... - 0.02/,- I0"<,;

IMa rozkładu normalnego /w,., - 0,    - 1 • 3-...{2Jt - l)r7³⁴ , a więc:

p_} =0 oraz /<* = l-3-cr⁴, a w konsekwencji:

Var|y(/)J-/,V ⁺ <*,* ♦ ?-10~X - 10~*<r,⁴ -[l + 0.02 sin(r)]⁵ 4 2 • lO"⁴^ + <x²

Zadanie 2. ]lDo wzorcowania pewnego toru pomiarowego, którego modelem jest zależność / = yTji, + />,x₂. zastosowano metodę najmniejszych kwadratów — zakładając, że plan eksperymentu ma pos^ć:

I a a a a 1 1 1 1-1 l l -1

Wyznaczyć wartość parametru a. dla której suma wariancji estymat parametrów p, i p_z jest największa.

Rozwiązanie:

A = X^rX= A_t

• -zm.«

A,, = 4 4 2zr^J

A„ «4+2a^ł

A_yj -a⁷ + 2a - l A_tl = a¹ * 2a - 1

det(A) = (4 ♦ 2/7 ^ł)^ł - (<z^ł + 2a-l)

ló-f |fer^ł 4 4a⁴ - a⁴ - 4a^ł - |-4o³ +2a^s + 4a 15-f 4a + 12rr^ł - 4^^ł -f \r

ft 1    ^11 ♦ *22    t - _A-i ¹ I ^An ”^ul

^ łJei(A)    ~ det(A)[-al2, ^„J

Ąa\= 4-2 + u±_ --j-

15-* 4<.• *■ 12xz* - 4a^ł 4 3or⁴

l <2/    2«{l5 « Aa + 12zr^J -4c^ł ♦ 3<r⁴ )-(24 a*)(4 4 24<r - I2a^ł 4 I2a^j)

(Ip

- 8 - I8cr ♦ 28<r^: - 24o^ł ♦ 4c* - Ca* - 0

4 ♦ 9a - I4a^ł ■» Iza’ - 'a* *■ vr⁵ * 0

a ■—0^283 - icd>ny izccz.ywiMy pierwiastek.

Ul wynika 7 załączonego wykresu jest to współrzędna maksimum J[a].

») t}>] b) Fjr¹! 0 K(*i| d)

Rozwiązanie:

a) E}xJ =]*«£*= ^ b> 4i^li»l*^łA=5 0    ^d)    *

o    •

^Zadanie 11^: ^prawdzić, czy następujące mac*erzE mogą być macierzami kowariancji wektora zmiennych losowych y - {?, y₃] :

■>[; :i »g 3

Odpowiedi uzasadnić.

Rozwiązanie:

a)    Nic. macierz nic jest dodatnio okresłooe. pxxiiewa± forma kwadratowŁ'

[^{V| V}*1 [2 |]    27_|4.a_J]^'j-r₁^,+27_lr₃-42y₁»₁ + »_J¹-

^ A vVl V > O    - ».^J + ^»i»a ♦ v₂^ł *=(v, 4 v₂)^ł 42a,»,

przyjmuje wartości ujemne dla v₂ = -z, * 0.

b)    Nie, macierz jest niesymetryczna.    *

^ Zadanie 113; j^jzmezyć prawdopodobieństwo, z jakim dokładna wartość /z, = 1 wielkości

mkrroocj x zawiera się w przedziale afoości postaci [^.r, J, jeżeli X_L i X_H - to niezależne zmiennr losowe o rozkładach równomiernych w przedziałach [-1, 0] i [O, 2], odpowiednio.

KorwiązanWr.

iZjnłaaie 11 A. Wyznaczyć meobciątooą eotymalę wartości prawdziwej //, pewnej wielkości ■ pobawić wyników pomiarów tej wiefcości J_m («=    błędami losow

rozkładzie równomiernym w przedziale [- 3A,ó].    / ^ ~ /A^.

Rggwiąraniet

Stwierdzamy, ie średnia arytmetyczna: jest w tym wypadku esrymatorcm obaązocym:

+^2j\śx.\“

Wnioskujemy na lej podstawie, że estymator nieobdążony ma postać:

-    ¹ V-

«-‘aS^Ł*'⁴

Zadanie 113: j[>szacować obciążenie następującej estymzły wartości prawdziwej p_t pewnej wielkości x:

A-7^7

jeśli wyniki pomiarów r, oraz 7, obarczone są błędami losowymi o zerowej średniej i wariancji <rf «1. Założyć, >c //, ■ 1.

Rozwiązanie:

Rozwijając pierwiastki występujące w wymżeniu:

A=J?-^=^ ⁺ 4V¹⁺4

(gdzie 4 ■ 2ł», , Aj m /£₃) w szereg Taylora, otrzymujemy:

I I

__i_a*-L_a*_m-L_a* 8' 9’ A'

f 7-.Un^ ti ti; Oszatuwać obciążenie otymatora wartości wielkości micrżooej, mającego postoć średniej gcomdrycznej wyników pomiarów;

2.

przy założeniu, że wyniki pomiarów mogą być adekwatnie modelowane ciągiem zmiennych losowych.

*,-//, -* A_m »0 dian « I......V

gdzie //, jest dokładną wartością wielkości mier/Docj. • ó. ’ /tnienną losową o zerowej średniej i wariancji a], modelującą błąd pojedynczego pomiaru. Założyć, że er" « p\, a zmienne losowe Ą_m są parami niezależne.