Założenia modelu jednowymiarowego i jednoczynnikowego ANOVA
1. Model jednowymiarowej, jednoczynnikowej analizy wariancji stosowany jest przede
wszystkim do ujawnienia efektów oddziaływania objaśniającej zmiennej niezależnej A
(nominalnej albo zmiennej o innym statusie pomiarowym sprowadzonej do skończonej liczby
niezależnych kategorii wartości, które traktowane są jako nieuporządkowane nominały) na
mierzalną zmienną objaśnianą X.
2. Zakłada się, że zmienna objaśniająca A ma k poziomów, k > 2. Zatem badacz analizuje k
populacji niezależnych, z których pobiera k niezależnych (tak zewnętrznie, jak wewnętrznie)
losowych prób.
3. Wszystkie k niezależnych losowych prób to próby o jednakowej liczebności równej m.
Stąd też całkowity rozmiar wylosowanej próby wynosi n = kxm.
4. Zmienna objaśniana X ma w każdej z k podpopulacji normalny rozkład
2
prawdopodobieÅ„stwa, N ( źi ,Ãi2 ) oraz w caÅ‚ej populacji, N ( ź ,à ). ZaÅ‚ożenie to winno być
sprawdzone za pomocą odpowiednich testów (dostosowanych do liczebności prób: gdy są to
próby małe  test Shapiro-Wilka, gdy duże  test Kołmogorowa-Smirnowa).
5. Wariancje zmiennej objaśnianej X we wszystkich k podpopulacjach są równe i równe
2
wariancji zmiennej w caÅ‚ej populacji, Ãi2 = à dla i = 1, 2,& , k. To zaÅ‚ożenie także winno
być bezwzględnie sprawdzone za pomocą odpowiednich testów. Na ogół są to testy: Bartletta
lub Levena (można zastosować w tym celu także test Hartley a lub Cochrana).
6. Jedynym wątpliwym założeniem modelu, przy prawdziwości wymienionych wyżej założeń
pozostaje hipoteza zerowa postaci:
H0 :ąi = 0 dla każdego i = 1,2,& , k, lub
k
H0 : Ä…i2 = 0 , lub
"
i=1
H0 : ź1 = ź2 = ... = źk = ź .
Gdy wymienione wyżej założenia są spełnione można pokazać, że licznik i mianownik
wzoru statystyki F
k
1
- xg )2
2 "m(xi
Ã
k -1
i=1
1 = H" F =
2 k m
1
Ã
- x )2
i
" "(xij
n - k
i=1 j =1
2
szacujÄ… niezależnie tÄ™ samÄ… wariancjÄ™ populacyjnÄ…Ã . Toteż statystyka ta ma rozkÅ‚ad
prawdopodobieństwa F Fishera-Snedecora z parą stopni swobody f1 = k  1 i f2 = n - k. Nie
jest to wprost iloraz zmienności (sum kwadratów), ale iloraz wariancji szacunków efektów
głównych (ważonych stałą m) przez wariancję szacunków błędów indywidualnych. Jest
to zatem iloraz zmienności podzielonych przez odpowiadające im stopnie swobody.
Postać licznika testu F w ANOVA
Gdy prawdziwa jest H0: ź1 = ź2 = & = źk = ź, czyli zmienna niezależna (czynnik) A
nie wpływa na zmienną zależną X, czyli wszystkie efekty główne (ąi = źi - ź) k (k > 2)
poziomów czynnika są zerowe, to wszystkie próby pochodzą z jednej populacji o średniej
równej ź (por. postać hipotezy zerowej).
Z faktu, że zmienna X ma rozkład normalny we wszystkich podpopulacjach oraz przy
założeniu prawdziwości hipotezy zerowej wynika, że zmienna X ma rozkład normalny w
2
caÅ‚ej populacji z wariancjÄ… à , zważywszy na zaÅ‚ożenie o homogenicznoÅ›ci wariancji
(wariancje zmiennej zależnej X we wszystkich k podpopulacjach są równe i równe wariancji
2
zmiennej w caÅ‚ej populacji, Ãi2 = à dla i = 1, 2,& , k, co sprawdzamy najczęściej za pomocÄ…
testu Bartletta lub Levena, a można to zrobić także za pomocą testu Hartley a lub Cochrana).
Można zatem przywołać wniosek z Centralnego Twierdzenia Granicznego, którego
treść sugeruje, że jeżeli z populacji o rozkładzie normalnym zmiennej objaśnianej X losuje się
niezależnie próby o ustalonej identycznej liczebności m, to rozkład statystyki X jest
rozkładem normalnym o średniej równej średniej zmiennej X w populacji (czyli ź) i wariancji
2
równejà /m, gdy liczba pobieranych prób dąży do nieskoÅ„czonoÅ›ci. Oznacza to, że
wariancja wartości średnich uzyskanych z nieskończonej liczby prób jest równa:
2 2
à = à /m
X
2
Z powyższej równoÅ›ci wynika, że wariancjÄ™ populacyjnÄ…Ã można oszacować wariancjÄ…
średnich, a mianowicie:
k
1
2 2
à = mà H" m
i
"(x - xg )2
X
k -1
i=1
Postać mianownika testu F w ANOVA
2
Oszacowanie drugie wariancji populacyjnejÃ
2 2 2
s1 + s2 + ... + sk 1
2 2 2 2
à H" s2 = = [(n1 -1)s1 + (n2 -1)s2 + ... + (nk -1)sk ] =
k n - k
ni
k
1
- x )2
i
" "(xij
n - k
i =1 j =1
StÄ…d:
2
2
mÃ
Ã
x
1 = H" = F
2 2 2 2
à s1 + s2 + ... + sk
k
k
1
- xg )2
2 "m(xi
Ã
k -1
i=1
1 = H" F =
2 k m
1
Ã
- x )2
i
" "(xij
n - k
i=1 j =1