3582320638

Wykład 9

Wielomiany jednej zmiennej

Definicja

Wielomianem stopnia ne Nu{0} nad pierścieniem K nazywamy funkcję P: K —>K określoną wzorem:

P(x) = a„x"+    +ći |.v' + a_{),

gdzie a, eK dla /=0,1,oraz a„ ± 0. Ponadto przyjmujemy, że funkcja P(x)=0 jest wielomianem stopnia «>. Elementy a_t e K dla /=0,l,...,/7 nazywamy współczynnikami wielomianu P(x). Współczynnik ao nazywamy wyrazem wolnym, a współczynnik a„ nazywamy najwyższym współczynnikiem wielomianu. Liczbę n nazywamy stopieniem wielomianu P(x) i oznaczamy przez deg(P). Stopień wielomianu będącego funkcją stałą jest 0.

B Przykłady

• P(x) = 2x³-l/3x+12,deg(P)=3 ■ P(x) = 2ix⁷ + 3/4x³ - (l+4t>² + (2-3Q, deg(P)=7

Mówimy, że dwa wielomiany P(x) = ajcⁿ+ a_n-ix^ttA+... +aiA^l+ ao i Q(x) = birjc^m+ b_m.ix^mA+...+ b\x+ b₀ są/wne wtedy i tylko wtedy, gdy n-m i apbi dla każdego t?=l,2,

Oznaczymy przez jKO] zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej x nad pierścieniem K.

Jeżeli PO), Q(x) e K[x\, to możemy w sposób naturalny określić sumę, różnicę i iloczyn wielomianów, mianowicie:

(P+0O) = P0)+<20)

(P-0O) = P0)-<20)

(P-0O) = P(x)Q(x).