2808185813

Wielomiany

Definicja 1 Wielomianem zmiennej x nazywamy każde wyrażenie postaci

Oq + Ol £5 + azX² + ...+ ak-l35^fe_1 + OkX^k,

gdzie o» (* = 0,1,..., k) są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.

Definicja 2 Niech /(*) = Oq + oi» 4- o^a:² + . - - + a*,_4- dkX^k i g(x) = bo + biX 4- bzx² + ... 4- b_m-ix^m~¹ 4- b_mx^m, przy czym załóżmy, że k >m. Ich sumę i iloczyn określamy wzorami:

f{x)+g{x) = (ao4-bo)4-(ai4-bi)»4-(a24-b2)*²4-.. .4-(afe_i4-bfe)a:^fc_14-(afc4-bfc)a:^fe;

f{x)g{x) = aobo4-(aibo4-ao4-bi)s5 4-(a2bo4-oibi4-aob2)a:²4-... +{a_kbm-i +a_k-xb_m)x^k+™-¹ +a_hb_mx^k+m.

Przykład 1 Niech f(x) — 2x² + 3x 4- 5 i niech g(x) — x⁴ + 2»³ 4- 5a)² 4- 2x 4- 3. Obliczyć ich sumę i iloczyn.

Przykład 2 Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów f(x) — i 4- (2 — i)x 4- ix² i g(x) = 4i — (i 4- 8)a:² — 6ix³.

Definicja 8 Stopniem wielomianu f(x) = oq 4- a,ix 4- a%x² 4-... 4- ak- ix^k^ 4-akX^k, w którym choć jeden ze współczynników o* ('i = 0,1,..., k) jest różny od zera, nazywamy wskaźnik ostatniego współczynnika różnego od zera.

Przykład 3 Jak jest stopień wielomianów f i g z poprzedniego przykładu?

Definicja 4 Wielomian 0 4- 0* 4- Oa:² 4-... 4- 0x^k nazywamy wielomianem zerowym.

Twierdzenie 1 Stopień sumy dwóch wielomianów jest niewiększy od stopni wielomianów dodawanych, a stopień iloczynu dwóch wielomianów jest równy sumie stopni tych wielomianów.

Twierdzenie 2 Dla każdego m > 0 zachodzi wzór

x^m-c^m = (x- c) {x^m~¹ 4- ca:™^-2 + ... + c^m~²x 4- c™^-1),

gdzie c jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną.

Stąd wynika, że f(x)—f(c) = (x—c)g(x), gdzie g jest pewnym wielomianem.

Definicja 5 Liczbę c nazywamy pierwiastkiem wielomianu f jeżeli /(c) = 0.

Twierdzenie 3 Jeżeli c jest pierwiastkiem wielomianu f, to f(x) = (a;—c)<?(s), gdzie g jest pewnym wielomianem.

1