3582464826

Analiza matematyczna 2

Egzamin poprawkowy, czerwiec 2005

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się egzamin, nazwę egzaminu (podstawowy, poprawkowy) swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok, imiona i nazwiska wykładowe} oraz osoby prowadzącej ćwiczenia, datę, a także narysować poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować, podpisać i spiąć zszywaczem wszystkie kartki pracy.

P2	1	2	3	4	5	6	Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie n tego zadania należy napisać na u -tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 120 min., za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach zadań należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania tzn.: formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowano wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

ZADANIA

1.    Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji uwikłanej y — y(x) określonej wzorem

a:³ -f y³ + xy - 1 = 0

w punkcie (x₀₎y₀) o odciętej x₀ = 1. Określić rodzaj monotoniczności funkcji uwikłanej y(x) na otoczeniu punktu x₀ = 1.

2.    Obliczyć moment bezwładności jednorodnego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a, 6 i masie m względem jednej z przypros-tokątnych.

3.    Obliczyć współrzędne środka masy półkuli x² + y² + z² < 1, z > 0, jeśli gęstość masy w każdym punkcie tej półkuli jest proporcjonalna do odległości tego punktu od środka układu współrzędnych.

4.    Obliczyć całkę niewłaściwą

I x² -f 2x + 5 ^^T

i

5.    Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

f (*-l)^w

n=i

oraz zbadać jego zbieżność na krańcach przedziału zbieżności.

6.    Wyznaczyć wszystkie ekstrema lokalne funkcji

/(z, y) = z² + xy + y² — 3x - 6y h- l.

Sformułować warunek wystarczający do tego, aby w punkcie stacjonarnym (x₀,t/₀) funkcja f(x,y) nie miała ekstremum lokalnego.