3582525279

Liczenie macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana Dla macierzy wymiaru 4 X 4 i większych liczenie ze wzoru macierzy odwrotnej jest bardzo pracochłonne. Metoda Gaussa-Jordana jest szybsza, chociaż też wymaga czasu.

Do macierzy A dopisuję po prawej stronie macierz jednostkową.

m

Następnie wykonuję tylko na wierszach takiej macierzy operacje elementarne, czyli

-    dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego lub nie przez liczbę,

-    pomnożenia dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera,

-    zamiana miejscami dwóch wierszy.

Celem jest uzyskanie po lewej stronie macierzy jednostkowej.

m

Macierz B otrzymana po prawej stronie będzie macierzą odwrotną do A.

B = A~^l

• 2	1	0	3 ‘
i	3	2	0
-1	1	0	-1
. 1	0	2	1 .

Przykład:

Z macierzy

chcę otrzymać

’ 2		1 0	3	1	0	0
1		3 2	0	0	1	0
-1		1 0	-1	0	0	1
. 1		0 2	1	0	0	0
•1	0	0 0	*	*	*	*■
0	1	0 0	*	*	*	*
0	0	1 0	*	*	*	*
.0	0	0 1	*	*	*	*.

gwiazdki po prawej stronie to elementy szukanej macierzy odwrotnej A^-1

- 2	1	0	3	1	0	0	0-
1	3	2	0	0	1	0	0
-1	1	0	-1	0	0	1	0
. 1	0	2	1	0	0	0	1.

Zamiast 2, chcę otrzymać 1, aby w następnym kroku tą jedynką wyzerować wszystkie elementy pierwszej kolumny znajdujące się poniżej 2. W tym celu od pierwszego wiersza odejmuję drugi wiersz, co oznaczam — w₂.

-w₂ : 2-1 = 1.    1-3=-2,    0-2 =-2,    3-0 = 3,    1-0 = 1,

0 — 1 = —1, 0-0 = 0, 0-0 = 0

		•	1 -2 -2		1	-1	0	0-
			13 2 0		0	1	0	0	~W\
			-110-	1	0	0	1	0	+Wl
		•	10 2 1		0	0	0	1.	-W 1
-W\ :	1-1 = 0,	3	-(-2) = 5. 2	—	(-2)	=	4,	0-	- 3 = -3,
	!-(-!) = 2,		0-0 = 0, 0	-	0 = 0
+w 1 :	-1 + 1= 0,		1 + (—2) = —1.	0 + (		-2) =		-2	-1+3
	0 + (—i) =	-1	1 + 0 = 1,	0 + 0 =		0
-Wi :	1-1 = 0,	0	- (-2) = 2, 2	-	(-2)	=	4,	1-	-3 = -2,
	0 — (—1) = 1.		0-0 = 0, 1	^—	0 = 1
		-1	-2 -2 3		1	-1	0	0-
		0	5 4-3		-1	2	0	0	+4w;3
		0	-1 -2 2		1	-1	1	0
		.0	2 4-2		-1	1	0	1.

Zamiast 5, chcę otrzymać 1, aby w następnym kroku tą jedynką wyzerować wszystkie elementy drugiej kolumny znajdujące się poniżej 5. W tym celu do drugiego wiersza dodaję trzeci wiersz pomnożony przez 4, co oznaczam +4t0₃.

0 + 4-0 = 0,		5 + 4	•(-	-1) =	1,	4 + 4	•(-	-2)	= -4, -3 + 4-2
-1+4- 1 =	= 3,	2 + 4-		(-D	= -	2, 0 + 4		• 1	= 4, 0 + 40 = 0
	■1	-2	-2	3	1	-1	0	0-
	0	1	-4	5	3	-2	4	0
	0	-1	-2	2	1	-1	1	0	+w2
	.0	2	4	-2	-1	1	0	1.	—2w2

+w₂: 0 + 0 = 0, -1 + 1=0, -2 +(-4) =-6, 2 + 5 = 7,

1+3 = 4, —1 + (—2) = —3, 1+4 = 5, 0 + 0 = 0

-2w₂: 0-2-0 = 0,    2-2-1 =0,    4 - 2 ■ (-4) = 12,    -2-2-5 = -12,

-1-2-3 =-7,    1-2-(-2) = 5,    0-2-4 =-8,    1-2-0= 1

'I	-2	-2	3	1	-1	0	0-
0	i	-4	5	3	-2	4	0
0	0	-6	7	4	-3	5	0
.0	0	12	-12	-7	5	-8	1.

Nie muszę —6 zamieniać na 1 aby wyzerować znajdujące się poniżej 12. Wystarczy jak do czwartego wiersza dodam trzeci wiersz pomnożony przez 2.

+2w₃: 0 + 2-0 = 0,    0 + 2-0 = 0,    12 + 2 • (-6) = 0,    -12 + 2-7 = 2,

-7 + 2-4 = 1,    5 + 2 • (—3) = —1,    -8+ 2-5 = 2,    1+2-0= 1

1	-2	-2	3	1	-1	0	0-
0	1	-4	5	3	-2	4	0
0	0	-6	7	4	-3	5	0
.0	0	0	2	1	-1	2	1.

Połowa pracy za mną. Mam wyzerowane elementy poniżej głównej przekątnej macierzy A. Teraz chcę mieć na głównej przekątnej tylko 1 a powyżej 0.

Zamiast 2, chcę otrzymać 1, aby w następnym kroku tą jedynką wyzerować wszystkie elementy czwartej kolumny znajdujące się powyżej 2. W tym celu czwarty wiersz mnożę przez

—3w4 : 1—3 1-3

—5w4 : 0 — 5

3- 5

-7w₄ : 0-7

4- 7

•ł	II p 0 tol~	= 0, 2-5 = 1,
1 ' 2	_ 1 - 2 •1 -2 -2	3	1 -1 0 0-
	0 1 -4	5	3 -2 4 0
	0 0-6	7	4-350
	.0 0 0	1	1    j | 1 2    2 ^1 2 -
= 1	-2-3-0	=	-2, -2-3-0	=
	CO 1 *“H 1 -|C4	(-	ł) = 3- 0-3	-1
= 0	1-5-0 =	1,	-4 - 5 - 0 = -	-4,
_ 2	. 2 5 - (	-i) = i, 4-5-		1 =
= 0	0-7-0 =	0,	-6 - 7-0 = -	-6,
_ 2	. —3 ~ 7 • (	1 2	1 to -ići 1 II	• 1
1	-2 -2 0	_	1 1 0 22-3-	3 2
0	1 -4 0	,	1    . 2    ^_1 ~	5 2
0	0-6 0		1    -2 - 2    ^z	7 2
.0	0 0 1		_i 1 i 2 ^1

Zamiast —6, chcę otrzymać 1, aby w następnym kroku tą jedynką wyzerować wszystkie elementy trzeciej kolumny znajdujące się powyżej —6. W tym celu trzeci wiersz mnożę przez (—g).

-1.1 = -1 ¹ 2 2'

3 - 3 - 1 = 0.

0 —5-± = —§

•K)^; o ■ (—55) = o, o-(-i) = o. —g • (—5) = 1.    0-(-i) = 0

ł •(-*)--A. *■(-*) =-A. -2-H) = i -I-H)

12

1 -2		-2	0	1 2	3 -3	3 2	+2w3
0	1	-4	0	1 2	5 "I	5 “2	+4w3
0	0	1	0	1 12	1 1 12 3	7 12
.0	0	0	1	ł	-3 *	1 2    ^J
= 1, -		2 + 2	-0	= -2,	-2 + 2-	1 =0	, 0 + 2

— 2 + 2'(—A) ^{= _}§•    5 + 2-(-A) = 3.    —3 + 2-± = —I

_2 +9•X - _i 2 ^T * 12    3

+4u;₃ : 0 + 4-0 = 0,    1+4-0= 1,    -4+ 4-1=0,    0 + 4-0 = 0,

ł+4-(-A) = i i + 4-(-A) = i. -l + 4-3 = i

-f+4-A = -S

1	-2	0	0	2 3	1 3	7 3	1 3	+2 w2
0	1	0	0	1 G	1 G	1 3	1 6
0	0	1	0	1 12	1 12	1 3	7 13
.0	0	0	1	1 2	1 2	1	1 2    -

+2w₂ : 1 + 2 ■ 0 = 1,    -2 + 2 ■ 1 = 0,    0 + 2 • 0 = 0,    0 + 2 • 0 = 0,

_2 4_0.1__1 1+2. 1-2 Z + 2 • 1 — —

3 ' ^z 6    3' 3 ' ^ G 3'    3 ^T ^ 3 ^— 3

-ł+2-(-*) = -i

-1	0	0	0	3	3	3	3
0	1	0	0	1 G	1 G	1 3	1 6
0	0	1	0	1 12	1 -73	ł	7 12
.0	0	0	1	1 2	1 -3	1	1 3

Ostatecznie otrzymuję po lewej stronie | macierz jednostkową a po prawej szukaną macierz

odwrotną.	•2 10 3		^1 2 5 2 -, 3 3 3 3
Macierzą odwrotną do	13 2 0 -110-1 . 1 0 2 1 .	jest macierz	1111 G 6 3 6 1 117 12 12 3 12 1    -I 1 i 2    2 ^1 2

Zadania + Rozwiązania