1109145210

Funkcja minimalnych wydatków - popyt Hicksa

Rozważmy także tzw. funkcję minimalnych wydatkowe : R'ix R -> R zdefiniowaną wzorem

e(p,u) = min{(x,p) : m(x) > u,\ e R"},

przyporządkowującą cenom p i poziomowi użyteczności u minimalną cenę koszyka, którego użyteczność wynosi co najmniej u.

Gdy u jest funkcją ściśle quasi-wklęsła, rosnącą i ciągłą, to zadanie minimalizacji wydatków min{(x,p) : w(x) > w,x e R'j},

ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej pary (p,«). Oznaczymy je przez p(p,w)

Definicja

Odwzorownie p : R'l*R >-* R", które przyporządkowuje cenom i użyteczności najtańszy koszyk (p, u) >-> p(p,«), tzn. rozwiązanie zadania

min{(x,p) : m(x) > u,\ e R'i},

nazwiemy popytem Hicksa.

Mamy więc

e(p,u) = (p(p,«),p).

Twierdzenie 6.2

Jeśli funkcja użyteczności u jest ciągła i ściśle rosnąca, to funkcja wydatków e : R'l*R -* R ma następujące własności:

1)    przyjmuje wartość 0 gdy u < u(0)

2)    jest ciągła w R"L x R

3)    jest jednorodna stopnia 1 względem p, tzn.e(tp,u) = te{p,u) dla t > 0,(p,«) e R1xR

3)    jest rosnąca ze względu na p,

4)    przy każdym p, jest ścisłe rosnąca i nieograniczona ze względu na u,

5)    jest wklęsła ze względu na p,

6)    jeśli u jest ściśle quasi-wklęsła, to e jest różniczkował na względem p » 0,/) i zachodzi tożsamość Shepard’a:

Pj(p,I) = ^(P-⁷) ^dlaJ ⁼ 1’².....ⁿ-

Pośrednia użyteczność i minimalne wydatki są względem siebie dualne w sensie podanym w poniższym twierdzeniu.

Twierdzenie 6.3