1300739571

1.3. Właściwości liniowych układów automatyki

Jak już powiedziano, właściwości dynamiczne liniowych elementów lub układów automatyki można opisać liniowym równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach. Dotyczy to tylko układów stacjonarnych (niezmiennych w czasie).

Układy rzeczywiste zwykle są nieliniowe, ale dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego, odnoszącego się do otoczenia wybranego punktu pracy na charakterystyce statycznej. Po linearyza-cji układy opisywane są za pomocą liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach a_j i b_t.

Matematyczne modele opisu zjawisk fizycznych są zawsze przybliżeniem ich rzeczywistego charakteru. W przypadku elementów i układów automatyki, które charakteryzują przebieg procesu, zachodzącego w rozpatrywanym elemencie lub układzie w postaci zależności pomiędzy sygnałem wejściowym i wyjściowym są równaniami otrzymanymi w wyniku analizy zjawisk zachodzących w danym elemencie. Równania te są równaniami liniowymi algebraicznymi, różniczkowymi, różnicowymi lub mogą być równaniami nieliniowymi, które można zlinearyzować, czyli zastąpić je przybliżonymi równaniami liniowymi. Tego rodzaju przybliżenie dla celów praktycznych może być wystarczające.

Proces linearyzacji jest, więc tworzeniem modelu liniowego, który poprzez aproksymację zastępuje model nieliniowy. Wyróżniamy dwie podstawowe linearyzacje tj. linearyzację statyczną (linearyzacja równań algebraicznych) i linearyzację dynamiczną (linearyzacja równań różniczkowych). Jedną ze znanych metod linearyzacji jest rozwinięcie nieliniowych funkcji w szereg Taylora w otoczeniu punktu pracy odpowiadającemu stanowi ustalonemu (równowagi). Dla stanu ustalonego, pochodne cząstkowe są stałe.

Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego: